심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2

해를 $a$로 나타낸 뒤 자연수 조건으로 $a$를 추린다.

$x$ 에 대한 방정식 $x-4=\frac{1}{5}(x-2a)$ 의 해와 $a$ 의 값이 모두 자연수일 때, 이를 만족하는 상수 $a$ 의 값을 모두 구하시오.

식·방정식

내 답

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기 — 먼저 x를 a의 식으로 나타냅니다. 그러면 두 가지 조건으로 걸러낼 수 있습니다. x가 정수여야 하니 a는 짝수이고, x가 양수여야 하니 a는 너무 크면 안 됩니다. 남은 값을 나열하면 답입니다.

1STEP 1

양변에 5를 곱합니다.

5x-20=x-2a

2STEP 2

x항은 좌변, 나머지는 우변으로 이항한 뒤 4로 나눕니다.

4x=20-2a → x=5-a/2

3STEP 3

x=5-a/2가 정수이려면 a/2가 정수여야 하므로 홀수인 a는 안 됩니다. a는 짝수입니다.

4STEP 4

x ＞ 0이므로 5-a/2 ＞ 0, 즉 a/2 ＜ 5이고 a ＜ 10입니다.

a/2 ＜ 5 → a ＜ 10

5STEP 5

10보다 작은 짝수인 자연수와 그때의 x를 짝지어 봅니다.

a=2,4,6,8 → x=4,3,2,1

정답

2, 4, 6, 8

a=8, x=1을 넣으면 좌변은 1-4=-3, 우변은 (1/5)(1-16)=-3으로 같습니다. a=10이면 x=0이 되어 자연수가 아니므로 8에서 멈춥니다.

핵심 정리

문자가 남은 채로 x를 구한 뒤, '자연수'라는 조건으로 하나씩 걸러 보세요.

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