문제
삼각형의 꼭짓점이 지나간 경로의 길이
한 변이 2 cm인 정삼각형이 길이 10 cm인 길 위에 서 있습니다. 앞쪽 꼭짓점을 축으로 오른쪽으로 계속 넘어뜨립니다. 길 끝까지 굴립니다. 한 꼭짓점이 지나간 길의 길이를 구합니다.
사고력 · 초6-2 자취
내 답
조심 넘어질 때마다 호를 그릴 것 같지만 축이 된 차례에는 움직이지 않습니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 길 위에서 삼각형이 놓이는 자리를 하나도 빠짐없이 그리고 그때마다 점 ㄱ이 어디에 있는지 표시하면, 호가 종이 위에 그대로 드러나서 셀 수 있게 됩니다. 두꺼운 종이로 한 변 2 cm짜리 정삼각형을 오려 한 꼭짓점에 ㄱ이라고 쓴 뒤 자를 대고 실제로 넘어뜨려 보면 이 문제의 함정이 손에 잡힙니다. 어느 한 차례에는 점 ㄱ이 바로 축이 되어서 제자리에 가만히 있고 호를 하나도 그리지 않기 때문입니다. 그다음에는 넘어지는 차례마다 한 줄씩, 축이 되는 꼭짓점과 호의 반지름과 중심각을 적어 두고 줄을 더하면 끝납니다.
1STEP 1
삼각형이 몇 번 넘어지는지 세기
삼각형은 모두 4번 넘어집니다.
(10 - 2) ÷ 2 = 4 (번)
넘어지는 횟수는 하나 더하거나 덜하기 쉬운 대목입니다. 10을 2로 그냥 나누기 전에, 길 위에 0, 2, 4, 6, 8, 10을 표시해 두고 밑변이 어디에 내려앉는지 눈으로 따라가는 편이 안전합니다.
4.OA.A.3Draw A Diagram2STEP 2
한 번 넘어질 때 각 꼭짓점에 생기는 일
한 번 넘어질 때 축이 아닌 꼭짓점만 움직입니다.
한 점을 축으로 돌면 그 점까지의 거리가 그대로 유지됩니다. 경로가 복잡한 곡선이 아니라 깔끔한 원의 호가 되는 이유가 바로 이것입니다.
4.G.A.1Create A Physical Representation3STEP 3
한 번에 얼마나 도는가: 120°
한 번에 120도씩 돕니다.
180° - 60° = 120°
삼각형의 세 내각의 합이 180°이니 정삼각형의 한 내각은 180 ÷ 3 = 60°입니다. 넘어질 때는 평각에서 그 내각을 뺀 만큼 돌아가고, 그 나머지가 바로 외각입니다.
8.G.A.5Draw A Diagram한 번 넘어질 때 삼각형은 어느 꼭짓점을 축으로 하든 120도만큼 돈다.
왜?
축이 되는 꼭짓점에서 그 60도와 회전이 함께 직선을 채우므로, 회전은 180에서 남은 부분이다.
🧱각의 크기는 더해진다각 안에 그은 반직선은 각을 두 개로 나누고, 그 두 각의 크기를 더하면 원래 각이 된다 — 길이와 똑같다.
왜?
그런 넘어짐 세 번이면 삼각형이 한 바퀴를 다 돌게 되며, 그것이 120이 맞다는 검산이 된다.
🧱한 점 둘레의 각은 360도한 점 둘레를 빙 둘러 나란히 놓인 각들은 한 바퀴, 곧 360도를 정확히 채운다.
4STEP 4
네 번을 표로 늘어놓고 점 ㄱ이 쉬는 차례 찾기
네 번 중 한 번은 그 꼭짓점이 축이 됩니다.
차례 & 축이 되는 꼭짓점 & 점 ㄱ ; 1 & ㄷ & 이동, r=2, 120° ; 2 & ㄱ & 제자리 ; 3 & ㄴ & 이동, r=2, 120° ; 4 & ㄷ & 이동, r=2, 120°
차례마다 한 줄씩 적고 축이 되는 꼭짓점의 이름을 밝히는 것이 점 ㄱ이 쉬는 차례를 붙잡는 방법입니다. 네 번의 회전을 머릿속에서만 굴리려다가 이 문제를 틀립니다.
4.G.A.1Make A Systematic List5STEP 5
축이 되는 꼭짓점의 규칙 확인하기
축이 되는 차례는 규칙적으로 돌아옵니다.
세 꼭짓점이 돌아가며 축을 맡는다는 것은 각 꼭짓점이 세 번에 한 번 축이 된다는 뜻입니다. 그래서 쉬는 차례를 하나하나 따라가지 않고 미리 짚어 낼 수 있습니다.
4.OA.A.3Look For A Pattern6STEP 6
호 하나의 길이 구하기
호 하나는 반지름 2 cm에 120도짜리입니다.
2 × 2 × 3.14 × 120°/360° (호 하나)
호의 길이는 원의 둘레에서 떼어 낸 몫입니다. 원 하나의 둘레를 먼저 구한 다음, 중심각이 360°에서 차지하는 만큼만 떼어 내면 됩니다.
7.G.B.4Draw A Diagram7STEP 7
호 세 개 더하기
호 세 개를 더하면 12.56 cm입니다.
2 × 2 × 3.14 × 120°/360° × 3 = 12.56 (cm)
반지름이 같은 1/3짜리 호 세 개는 이어 붙이면 원 하나가 되므로, 계산은 3.14를 한 번 곱하는 것으로 줄어듭니다.
5.NBT.B.7Look For A Pattern정답
12.56 cm
4.186 × 3 = 12.56
답이 길이이고 단위가 cm이니 물어본 것과 맞습니다. 크기도 어림해 봅시다. 점 ㄱ은 처음 자리에서 오른쪽으로 10 - 1 = 9 cm 떨어진 곳에서 끝나는데, 곧게 간 것이 아니라 봉긋한 호 세 개를 타고 갔으니 경로는 9 cm보다 꽤 길어야 합니다. 12.56 cm은 더 길되 터무니없이 길지는 않습니다. 봉우리 하나의 높이가 많아야 2 cm이니 직선거리의 두 배 가까이 될 수는 없기 때문입니다. 이 문제에서 가장 위험한 곳은 호의 개수이므로 두 번 확인할 만합니다. 네 번 넘어지면 삼각형이 02에서 810까지 가고, 축은 ㄷ, ㄱ, ㄴ, ㄷ 순서라 점 ㄱ은 정확히 한 번 쉽니다. 쉬는 차례를 빼먹고 호를 네 개로 세면 4 × 4.18…, 약 16.75 cm가 나오고, 10 ÷ 2 = 5번이라고 세면 길 밖으로 넘어가는 다섯 번째 회전까지 세는 셈이 됩니다. 모눈종이에 다섯 자리를 그려 보면 바로 판가름 납니다.
핵심 정리
도형이 굴러갈 때 표시된 꼭짓점은 자기가 축이 되는 차례에는 가만히 쉽니다. 호를 더하기 전에 쉬는 차례부터 골라내세요.
- 삼각형이 몇 번 넘어지는지 세기
- 한 번 넘어질 때 각 꼭짓점에 생기는 일
- 한 번에 얼마나 도는가: 120°
- 네 번을 표로 늘어놓고 점 ㄱ이 쉬는 차례 찾기
- 축이 되는 꼭짓점의 규칙 확인하기
- 호 하나의 길이 구하기
- 호 세 개 더하기
이어서 풀어볼까요