문제
색칠한 부분의 넓이(1)
큰 정삼각형 안에 원이 세 변에 닿도록 들어 있습니다. 그 원 안에 작은 정삼각형이 세 꼭짓점을 원 위에 얹고 있습니다. 두 삼각형은 같은 방향입니다. 작은 정삼각형의 넓이를 구합니다.
사고력 · 초6-2 색칠한 부분의 넓이
내 답
조심 반지름을 구해야 할 것 같지만 원에 관한 계산은 하나도 필요하지 않습니다.
풀이 과정
전략 직접 만져보기 — 잰 값이 하나도 없으니 어떤 공식도 첫 줄을 쓸 수가 없습니다. 그런데 작은 삼각형은 집어서 돌려도 되는 물건입니다. 삼각형 ㄹㅁㅂ을 두꺼운 종이로 오려 원의 중심에 압정으로 꽂고 반 바퀴 돌려 봅시다. 돌린다고 크기가 달라지지는 않으니 넓이는 돌리기 전과 그대로인데, 돌려 놓고 보면 그림이 스스로 답을 말해 주는 자리에 가서 앉습니다. '넓이를 구하라'는 어려운 문제가 '삼각형의 세 변의 중점을 이으면 어떻게 될까'라는 훨씬 쉬운 문제로 바뀌는 것입니다.
1STEP 1
잴 것이 없다면 관계를 찾으라는 신호
잴 것이 없으니 관계를 찾습니다.
넓이 하나만 주고 길이는 하나도 주지 않는 문제는 언제나 비를 묻고 있습니다. 조각을 재는 대신 자르고 옮겨서 견주는 것이 바로 이 단원에서 넓이를 다루는 방식입니다.
6.G.A.1Draw A Diagram2STEP 2
원이 큰 삼각형에 닿는 세 점 찾기
원은 큰 삼각형의 세 변의 중점에 닿습니다.
정삼각형은 세 가지 방법으로 접어서 자기 자신에 포갤 수 있습니다. 접는 선마다 내접원의 중심을 지나 맞은편 변의 중점에 닿으니, 원이 닿는 점과 변의 중점은 같은 세 점일 수밖에 없습니다.
4.G.A.3Visualize Spatial Relationships3STEP 3
작은 삼각형을 중심에서 180° 돌리기
작은 삼각형을 반 바퀴 돌리면 그 세 점에 얹힙니다.
중심을 잡고 반 바퀴 돌리면 원 위의 모든 점은 정반대편 점으로 가고, 여전히 원 위에 남습니다. 종이 삼각형은 돌린다고 늘어나거나 줄어들지 않으니 넓이도 그대로입니다.
8.G.A.1Create A Physical Representation작은 삼각형을 중심으로 반 바퀴 돌리면 중점을 이은 삼각형에 내려앉는다.
왜?
돌리기는 삼각형을 자기 복사본 위에 포개므로, 넓이가 조금도 변하지 않고 그대로 따라온다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
중점 삼각형은 변의 길이가 큰 삼각형의 절반이므로, 큰 삼각형이 얼마나 크든 넓이는 그 정해진 몫이다.
🧱비례하는 양은 함께 커진다두 양이 일정한 비를 유지하면 하나를 두 배 하면 다른 하나도 두 배가 되므로, 아는 비로 모르는 비를 대신할 수 있다.
4STEP 4
더 쉬운 문제 풀기 - 세 변의 중점을 이으면
중점을 이은 삼각형은 전체의 1/4입니다.
(중점을 이어 만든 삼각형) = 1/4 × (처음 삼각형)
종이로 해 보면 눈에 바로 보입니다. 삼각형의 세 꼭짓점을 각각 맞은편 변의 한가운데로 접어 넣으면 세 귀퉁이가 가운데 삼각형을 빈틈없이 한 번씩 덮습니다. 똑같은 조각 넷이니 하나는 1/4입니다.
6.G.A.1Solve An Easier Related Problem5STEP 5
돌린 삼각형의 넓이를 읽고 돌리기 전으로 되돌리기
돌려도 넓이는 그대로라 3입니다.
12 × 1/4 = 3 cm²
반 바퀴 돌리기는 보는 방법일 뿐이고 색칠한 삼각형은 실제로 움직인 적이 없습니다. 돌리기는 그림을 읽을 수 있는 자리로 옮겨 놓는 일만 했고, 돌리기는 넓이를 바꾸지 않으므로 구한 수는 그대로 돌아옵니다.
8.G.A.1Create A Physical Representation6STEP 6
원에 관한 계산이 한 번도 필요하지 않았음을 확인하기
원의 반지름은 한 번도 쓰이지 않았습니다.
주어진 수를 쓰지 않고 끝냈다면 걱정할 일이 아니라 반가운 일입니다. 먼 길로 가면 힘겹게 도착했을 자리에 지름길로 먼저 닿았다는 뜻이니까요.
4.NF.B.4Draw A Diagram정답
3 cm²
12 ÷ 4 = 3
구한 3 cm²는 주어진 12 cm²와 같은 넓이 단위이고, 12보다 작습니다. 삼각형 ㄹㅁㅂ은 원 안에, 원은 삼각형 ㄱㄴㄷ 안에 들어 있으니 반드시 그래야 합니다. 1/4이라는 값도 눈대중과 맞습니다. 그림에서 색칠한 삼각형은 큰 삼각형의 1/10보다는 분명히 크고 절반보다는 분명히 작은, 대략 1/4쯤 되는 자리를 차지합니다. 길이로도 한 번 더 확인할 수 있습니다. 원의 반지름은 중심 ㅇ에서 삼각형 ㄹㅁㅂ의 꼭짓점까지의 거리이고, ㅇ에서 삼각형 ㄱㄴㄷ의 꼭짓점까지의 거리는 그 두 배입니다. 정삼각형에서 중심은 각 중선을 2 : 1로 나누는 자리에 있어서 꼭짓점 쪽으로는 중선의 2/3, 맞은편 변 쪽으로는 1/3만큼 떨어져 있기 때문입니다. 중심에서의 거리가 두 배가 되면 변의 길이도 두 배가 되고 넓이는 2 × 2 = 4배가 되므로, 삼각형 ㄱㄴㄷ은 삼각형 ㄹㅁㅂ의 4배이고 12 ÷ 4 = 3 cm²입니다. 마지막으로 원주율을 끝내 쓰지 않은 것도 옳습니다. 원주율을 얼마로 잡든 답은 3 cm² 그대로입니다.
핵심 정리
작은 삼각형을 반 바퀴만 돌려 보세요. 큰 삼각형의 세 변의 중점에 딱 내려앉아 큰 삼각형을 똑같은 네 조각으로 나눕니다. 그러니 언제나 1/4입니다.
- 잴 것이 없다면 관계를 찾으라는 신호
- 원이 큰 삼각형에 닿는 세 점 찾기
- 작은 삼각형을 중심에서 180° 돌리기
- 더 쉬운 문제 풀기 - 세 변의 중점을 이으면
- 돌린 삼각형의 넓이를 읽고 돌리기 전으로 되돌리기
- 원에 관한 계산이 한 번도 필요하지 않았음을 확인하기
이어서 풀어볼까요