문제
단위넓이 이용하기
정사각형 하나를 칠교판의 7조각으로 나누어 놓았습니다. 가장 작은 삼각형의 넓이가 1 cm²입니다. 길이를 재지 않고 조각끼리 견주어 구합니다. 나머지 여섯 조각의 넓이를 각각 구합니다.
사고력 · 초5-1 등적변형 (1)
내 답
조심 모양이 다르면 넓이도 다를 것 같지만 정사각형과 평행사변형은 넓이가 같습니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 가장 빠른 길은 칠교판 그림에 보조선을 몇 개 더 그어, 일곱 조각이 모두 색칠된 작은 삼각형과 똑같은 조각들로 잘리게 만드는 것입니다. 그러면 넓이 공식이 하나도 필요 없습니다. 조각의 넓이는 그 안에 든 작은 삼각형의 개수일 뿐이니까요. 조각이 여섯이니 '이 조각을 단위 삼각형으로 어떻게 자를까'라는 작은 문제가 여섯 개이고, 칠교판의 모든 조각이 그 삼각형으로 만들어져 있어서 하나하나가 쉽습니다. 실제 칠교 조각이 있다면 작은 삼각형을 다른 조각 위에 올려놓고 돌려 가며 손으로 확인할 수도 있습니다. 마지막에는 일곱 개수의 합이 정사각형 전체와 맞는지 보면, 여섯 답을 한꺼번에 검산할 수 있습니다.
1STEP 1
단위와 정사각형 전체의 크기 정하기
작은 삼각형을 단위로 삼습니다.
정사각형 = 4 × 4 = 16, 색칠된 삼각형 = 1/2 × 2 × 1 = 1
고른 조각으로 넓이를 재는 일은 단위 정사각형으로 재는 일과 똑같습니다. 빈틈도 겹침도 없이 덮고 개수를 세면 됩니다. 여기서는 고른 조각이 마침 1칸짜리였을 뿐, 그것이 요점은 아닙니다.
3.MD.C.5Draw A Diagram2STEP 2
또 하나의 작은 삼각형은 그대로 한 개
또 하나의 작은 삼각형도 1입니다.
㉤ = 1/2 × 2 × 1 = 1 cm²
칠교판에는 똑같은 작은 삼각형이 언제나 두 개 있습니다. 그 짝을 먼저 찾아 두면 힘들이지 않고 기준 조각을 하나 더 얻는 셈입니다.
6.G.A.1Create A Physical Representation3STEP 3
정사각형 조각은 단위 삼각형 두 개
정사각형 조각은 2입니다.
㉥ = 1 + 1 = 2 cm²
선 하나만 더 그으면 낯설게 기울어진 정사각형이 이미 넓이를 아는 도형 둘로 바뀝니다. 다각형을 쪼개어 넓이를 구한다는 것이 바로 이것입니다.
6.G.A.1Identify Subproblems4STEP 4
중간 삼각형도 단위 삼각형 두 개
중간 삼각형도 2입니다.
㉢ = 1 + 1 = 2 cm²
직각이등변삼각형에서 직각인 꼭짓점과 가장 긴 변의 한가운데를 이으면 크기가 정확히 절반인 직각이등변삼각형 둘로 갈라집니다. 이 칠교판 전체를 관통하는 단 하나의 사실입니다.
6.G.A.1Identify Subproblems5STEP 5
평행사변형도 단위 삼각형 두 개
평행사변형도 2입니다.
㉦ = 1 + 1 = 2 cm²
평행사변형을 대각선으로 자르면 언제나 똑같은 삼각형 둘이 나옵니다. 그러니 하나만 알아보면 나머지 하나는 덤으로 따라옵니다.
6.G.A.1Identify Subproblems6STEP 6
큰 삼각형은 각각 단위 삼각형 네 개
큰 삼각형은 각각 4입니다.
㉠ = 2 + 2 = 4 cm², ㉡ = 4 cm²
이미 재어 둔 조각에 기대면 일이 줄어듭니다. 큰 삼각형 안에 작은 삼각형 넷을 다 그릴 필요 없이 중간 삼각형 둘로 보기만 하면 됩니다.
6.G.A.1Identify Subproblems7STEP 7
검산: 일곱 조각이 정사각형을 다시 이루는지 확인하기
일곱 조각을 더하면 16으로 정사각형이 됩니다.
4+4+2+2+2+1+1=16
조각들이 빈틈도 겹침도 없이 정사각형 하나에서 나왔으니 넓이의 합은 반드시 정사각형의 넓이로 되돌아옵니다. 여섯 답을 한 번에 시험하는 검산입니다.
4.NBT.B.4Draw A Diagram일곱 조각은 정사각형 전체를 되만들어야 하므로, 잰 넓이를 더하면 정확히 그 정사각형이 되어야 한다.
왜?
조각들은 빈틈도 겹침도 없이 정사각형을 덮으므로, 그 넓이를 합치면 정사각형의 넓이가 된다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
조각을 옮겨 단위 삼각형에 대어 보아도 넓이는 그대로이므로, 포개어 견주는 것은 올바른 재기다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
정답
4, 4, 2, 2, 2, 1 cm²
4 + 4 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 = 16
모든 넓이가 자연수로 나왔습니다. 조각마다 단위 삼각형을 온전한 개수만큼 담고 있으니 당연한 일입니다. 답의 크기 순서도 눈으로 보는 그림과 맞습니다. 가장 큰 두 조각인 큰 삼각형이 4로 제일 크고, 중간 크기인 중간 삼각형·정사각형·평행사변형이 모두 2로 같은데 실제로도 셋의 크기가 비슷해 보이며, 작은 삼각형 둘이 1로 가장 작습니다. 가장 든든한 검산은 합입니다. 4+4+2+2+2+1+1=16으로 정사각형 전체의 넓이와 같고, 쓰던 모눈에서 정사각형은 4 × 4 = 16칸입니다. 같은 그림을 다르게 읽어도 확인됩니다. 대각선 (0, 0)–(4, 4)가 정사각형을 8씩 두 몫으로 가르는데 마침 그 선이 조각을 나누는 선이라 조각이 깔끔하게 갈립니다. 그 아래쪽에는 큰 삼각형 둘만 있어 4+4=8이고, 위쪽에는 중간 삼각형·정사각형·평행사변형·작은 삼각형 둘이 있어 2+2+2+1+1=8입니다.
핵심 정리
작은 조각 하나를 자로 정해 놓으면, 다른 조각의 넓이는 그 조각이 몇 개 들어가는지 세기만 하면 돼요. 공식은 하나도 필요 없답니다.
- 단위와 정사각형 전체의 크기 정하기
- 또 하나의 작은 삼각형은 그대로 한 개
- 정사각형 조각은 단위 삼각형 두 개
- 중간 삼각형도 단위 삼각형 두 개
- 평행사변형도 단위 삼각형 두 개
- 큰 삼각형은 각각 단위 삼각형 네 개
- 검산: 일곱 조각이 정사각형을 다시 이루는지 확인하기