각기둥과 각뿔의 부피

입체를 곧게 한 번 자르면 조각은 두 개일 수밖에 없습니다. 게다가 밑면의 대각선을 따라 자르면 잘린 면이 평평한 직사각형이 되므로, 두 조각은 이상한 모양이 아니라 진짜 삼각기둥이 됩니다.

두 도형이 모양과 크기가 같다는 말은 구부리거나 늘이지 않고 하나를 다른 하나 위로 옮길 수 있다는 뜻입니다. 여기서 그 움직임은 그냥 반 바퀴 돌리기이므로, 자로 재어 보지 않아도 두 조각이 같다고 확신할 수 있습니다.

부피 규칙을 이미 알고 있는 입체는 사각기둥 하나뿐입니다. 그래서 이 단원의 새로운 규칙은 모두 새 입체를 사각기둥에 붙여 놓는 방식으로 만들어집니다. 여기서는 사각기둥을 둘로 잘라 붙였습니다.

곱셈의 차례를 바꾸는 것은 공짜입니다. 그런데 여기서는 이유가 있어서 바꿉니다. 앞의 두 수를 붙여 놓으면 그 둘이 합쳐져 이름이 따로 있는 하나의 양이 되기 때문입니다.

이 대목이 유도 전체의 결실입니다. 1/2은 식에 남지 않습니다. 밑면 속으로 흡수되어 버리고, 삼각기둥도 사각기둥과 똑같이 (밑넓이)×(높이)라는 규칙을 따르게 됩니다.

정육면체를 방이라고 하고 가운데 점을 전등이라고 생각해 봅니다. 벽 넷과 바닥, 천장이 각자 자기 앞의 공간을 뿔 모양으로 차지하고, 그 여섯 뿔을 합치면 방 전체가 됩니다.

정육면체는 어느 면을 바닥으로 놓아도 똑같아 보입니다. 그러니 여섯 사각뿔 가운데 어느 하나를 특별하게 만들 근거가 없고, 똑같이 생긴 조각은 똑같은 양을 담을 수밖에 없습니다.

사각뿔의 꼭짓점은 정육면체의 한가운데에 있으므로 밑면에서 모서리의 절반만큼밖에 떠 있지 않습니다. 납작한 사각뿔이고, 짝이 되는 사각기둥은 정육면체의 아래쪽 절반인 셈입니다.

정육면체가 다리 역할을 합니다. 사각뿔도 사각기둥도 모두 정육면체를 잣대로 재었으니, 둘을 견주는 일은 1/6과 1/2을 견주는 일이고 1/6은 1/2의 삼분의 일입니다.