문제
최대공약수와 최소공배수의 활용
(1)은 가로 20 cm, 세로 12 cm인 바닥을 같은 정사각형으로 빈틈없이 덮습니다. 그중 가장 큰 정사각형의 한 변을 구합니다. (2)는 가로 2 cm, 세로 3 cm인 타일로 정사각형을 만듭니다. 두 물음의 한 변의 길이를 각각 구합니다.
사고력 · 초5-1 최대공약수와 최소공배수
내 답
조심 두 물음이 같아 보이지만 하나는 약수를, 다른 하나는 배수를 찾는 문제입니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 두 문제는 비슷해 보이지만 방향이 정반대입니다. 그래서 아예 따로 떼어 놓고 하나씩 해결합니다. 각각 그림을 먼저 그려 보고 "한 변의 길이가 어떤 조건을 만족해야 하는가"를 묻습니다. (1)에서는 정사각형 한 줄이 바닥 끝에 딱 맞아야 하니 한 변의 길이가 20과 12를 모두 나누어떨어지게 해야 합니다. (2)에서는 쌓아 올린 높이와 가로 길이가 같아져야 하니 한 변의 길이가 2의 배수이면서 3의 배수여야 합니다. 여기까지 알면 찾아볼 수의 범위가 짧아지므로, 20과 12의 약수를 모두 쓰고 2와 3의 배수를 앞에서부터 몇 개 써 보는 것으로 충분합니다. 나열하면 답이 눈에 보일 뿐 아니라, 더 큰(또는 더 작은) 수를 빠뜨리지 않았다는 것까지 확인됩니다.
1STEP 1
두 문제를 서로 다른 문제로 갈라 놓기
두 물음을 서로 다른 문제로 갈라 둡니다.
답이 주어진 수보다 작아질지 커질지를 먼저 정해 두면 두 문제가 섞이지 않습니다. 그 판단에는 그림을 읽는 것 말고는 아무것도 필요하지 않습니다.
4.OA.A.3Identify Subproblems2STEP 2
(1) 정사각형의 한 변이 20과 12의 약수여야 하는 까닭
(1)의 한 변은 20과 12의 공약수여야 합니다.
20 = (가로 개수) × s, 12 = (세로 개수) × s
같은 정사각형으로 직사각형을 덮으면 가로 몇 줄, 세로 몇 줄의 배열이 되고, 배열의 한 줄 길이는 곱셈으로 나타납니다. 그래서 한 변의 길이는 바닥의 두 변 각각의 약수일 수밖에 없습니다.
3.MD.C.7Draw A Diagram바닥을 딱 맞게 덮는 정사각형은 한 변이 20과 12를 모두 남김없이 나누어야 한다.
왜?
벽을 따라 정사각형을 늘어놓으면 온전한 정사각형들과 나머지가 생기는데, 나머지가 있다면 타일이 닿지 못하는 띠가 남는다는 뜻이다.
🧱나머지가 있는 나눗셈어떤 수든 같은 크기 묶음 몇 개와 나머지로 갈라지고, 나머지는 언제나 묶음 크기보다 작다.
왜?
두 수를 모두 나누는 변의 길이는 짝지어 나열할 수 있으므로, 놓치는 것 없이 가장 큰 공통값을 고를 수 있다.
🧱약수는 짝을 이룬다약수는 저마다 짝을 함께 내주므로 둘씩 짝지어진다 — 자기 자신이 짝인 경우만 예외다.
3STEP 3
(1) 약수를 모두 쓰고 가장 큰 공약수 고르기
가장 큰 공약수는 4입니다.
20: 1, 2, 4, 5, 10, 20 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12 공약수: 1, 2, 4
두 줄 모두 다 써도 짧으니, 공통으로 들어 있는 가장 큰 수를 바로 읽어 낼 수 있습니다. 공식도 필요 없고 빠뜨린 수도 없습니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List4STEP 4
(1) 4 cm 정사각형이 정말 바닥을 덮는지 확인하기
4 cm 정사각형 15장이 바닥을 꼭 덮습니다.
20 ÷ 4 = 5, 12 ÷ 4 = 3, 5 × 3 × 16 = 240 = 20 × 12
가로 개수와 세로 개수를 곱한 값을 (가로)×(세로)와 견주어 보는 것은 직사각형 넓이 확인의 기본이고, 남은 띠가 있으면 바로 드러납니다.
4.MD.A.3Draw A Diagram5STEP 5
(2) 정사각형의 한 변이 2의 배수이자 3의 배수여야 하는 까닭
(2)의 한 변은 2와 3의 공배수여야 합니다.
가로 = 2 × (가로 개수), 세로 = 3 × (세로 개수)
같은 길이를 되풀이해 더하는 것이 곱셈이므로, 만들어진 정사각형의 한 변은 저절로 타일 가로의 배수이자 세로의 배수가 됩니다.
3.MD.C.7Draw A Diagram6STEP 6
(2) 배수를 나열해 처음 만나는 공배수 찾기
가장 작은 공배수는 6입니다.
2: 2, 4, 6, 8, 10, 12 3: 3, 6, 9, 12 처음 공배수: 6
2씩 뛰어 세기와 3씩 뛰어 세기를 나란히 해 놓고 같은 수가 나올 때까지 가는 것, 그것이 곧 최소공배수를 찾는 방법입니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List7STEP 7
(2) 6 cm 정사각형을 실제로 만들고 더 작은 경우를 지우기
타일 여섯 장으로 6 cm 정사각형이 딱 만들어집니다.
3 × 2 = 6 cm, 2 × 3 = 6 cm, 6 × 6 = 36 = 6 × 6
되는 방법을 하나 보여 주고 더 작은 정사각형들의 넓이를 모두 따져 보면, 그럴듯한 답이 확실한 답으로 바뀝니다.
6.NS.B.4Make A Systematic List정답
4, 6 cm
20 ÷ 4 = 5, 12 ÷ 4 = 3
두 답 모두 묻는 대로 cm 단위의 길이입니다. (1)의 4 cm는 바닥의 두 변보다 작고 두 변을 모두 나누어떨어지게 합니다(20 ÷ 4 = 5, 12 ÷ 4 = 3). 큰 직사각형을 같은 정사각형으로 쪼갤 때 나와야 할 모습 그대로입니다. (2)의 6 cm는 타일의 두 변보다 크고 2와 3이 모두 나누어떨어지니, 작은 타일을 쌓아 큰 정사각형을 만들 때 나와야 할 모습입니다. 게다가 (최대공약수)×(최소공배수)=(두 수의 곱)이라는 익숙한 확인도 들어맞습니다. 20과 12는 4 × 60 = 240 = 20 × 12, 2와 3은 1 × 6 = 6 = 2 × 3입니다.
핵심 정리
큰 모양을 같은 정사각형으로 쪼갤 때는 가장 큰 공약수를, 작은 타일로 정사각형을 만들어 올릴 때는 가장 작은 공배수를 찾으면 됩니다!
- 두 문제를 서로 다른 문제로 갈라 놓기
- (1) 정사각형의 한 변이 20과 12의 약수여야 하는 까닭
- (1) 약수를 모두 쓰고 가장 큰 공약수 고르기
- (1) 4 cm 정사각형이 정말 바닥을 덮는지 확인하기
- (2) 정사각형의 한 변이 2의 배수이자 3의 배수여야 하는 까닭
- (2) 배수를 나열해 처음 만나는 공배수 찾기
- (2) 6 cm 정사각형을 실제로 만들고 더 작은 경우를 지우기
이어서 풀어볼까요