문제
폭이 일정한 길 모양의 도형의 넓이
폭이 일정한 굽은 길 두 개가 색칠되어 있고 둘 다 고리를 부채꼴로 잘라 낸 띠입니다. (1)은 중심각 45°, 안쪽 반지름 10 m, 폭 10 m이고 (2)는 중심각 120°, 안쪽 반지름 6 m, 폭 6 m입니다. 큰 부채꼴에서 작은 부채꼴을 빼고 원주율은 3.14를 씁니다. 두 색칠한 넓이를 각각 구합니다.
사고력 · 초6-2 색칠한 부분의 넓이
내 답
조심 적힌 수를 그대로 바깥 반지름으로 쓰기 쉽지만 안쪽 반지름에 폭을 더해야 합니다.
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기 — 굽은 띠는 정면으로 덤비기에는 까다로운 모양이지만, 쉬운 도형 두 개의 차로 보면 이야기가 달라집니다. 큰 부채꼴에서 가운데에 든 작은 부채꼴을 도려낸 것이니까요. 그래서 도형 하나가 작은 문제 두 개와 뺄셈 한 번으로 바뀝니다. 작은 문제 안에서도 '그 반지름을 가진 원 전체의 넓이는 얼마인가'라는 더 쉬운 질문을 먼저 풀고, 거기서 중심각이 차지하는 몫만 떼어 냅니다. 두 도형을 같은 방법으로 풀고 난 다음에는 두 답에 숨어 있는 규칙을 찾아, 교과서가 겨냥하고 있는 (가운뎃선의 길이) × (폭) 지름길까지 확인합니다.
1STEP 1
띠를 부채꼴 두 개의 차로 바꾸기
띠는 부채꼴 두 개의 차입니다.
(색칠한 띠) = (바깥쪽 부채꼴) - (안쪽 부채꼴)
액자 테두리의 넓이를 구할 때와 똑같은 수법입니다. 구멍까지 포함해 전체를 재고 나서 구멍을 덜어 내는 것이지요. 이미 아는 부채꼴 공식 말고는 새로 필요한 것이 없습니다.
6.G.A.1Identify Subproblems굽은 각 띠는 큰 부채꼴에서 작은 부채꼴을 덜어낸 것이다.
왜?
띠와 작은 부채꼴은 빈틈도 겹침도 없이 큰 부채꼴을 채우므로, 넓이를 더하면 큰 부채꼴이 된다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
전체와 덜어낸 부분을 알 때 빼면 띠가 돌아오는데, 덜어내기가 합치기를 되돌리기 때문이다.
🧱역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
2STEP 2
도형 (1): 두 반지름 읽어 내기
(1)의 두 반지름은 10 m와 20 m입니다.
(안쪽 반지름) = 10 m, (바깥쪽 반지름) = 10 + 10 = 20 m
두 번째 표시는 반지름이 아니라 폭입니다. 그것을 첫 표시에 더해 주는 이 대목이, 공식이 아니라 그림이 숫자를 정해 주는 문제 전체에서 유일한 자리입니다.
7.G.B.4Draw A Diagram3STEP 3
도형 (1): 45°는 원의 얼마만큼일까
45도는 원의 1/8입니다.
45°/360° = 1/8
부채꼴보다 원 하나를 떠올리는 편이 훨씬 쉽습니다. 부채꼴이 원의 1/8이라는 것만 알면 부채꼴 공식은 원의 넓이 공식 끝에 분수 하나가 붙은 것에 지나지 않습니다.
4.NF.B.4Solve An Easier Related Problem4STEP 4
도형 (1): 두 부채꼴의 넓이를 빼기
빼면 (1)은 117.75 m²입니다.
20 × 20 × 3.14 × 45°/360° - 10 × 10 × 3.14 × 45°/360° = 157 - 39.25 = 117.75 m²
두 부채꼴의 넓이가 똑같은 공식에서 나오므로, 실제로 손이 가는 일은 반지름을 두 배로 하고 제 자신과 곱하는 것뿐입니다. 소수 둘째 자리까지 빼는 계산은 초등 고학년이면 익숙한 셈입니다.
7.G.B.6Identify Subproblems5STEP 5
도형 (2): 두 반지름과 분수 읽어 내기
(2)의 두 반지름은 6 m와 12 m입니다.
(안쪽 반지름) = 6 m, (바깥쪽 반지름) = 12 m, 120°/360° = 1/3
두 개의 6 m를 반지름 두 개로 읽지 않고 안쪽 반지름과 폭으로 읽어야 바깥쪽 반지름이 12 m가 됩니다. 그림에서도 바깥쪽 호가 안쪽 호보다 중심에서 두 배 멀리 있으니 서로 맞습니다.
7.G.B.4Draw A Diagram6STEP 6
도형 (2): 두 부채꼴의 넓이를 빼기
빼면 (2)는 113.04 m²입니다.
12 × 12 × 3.14 × 120°/360° - 6 × 6 × 3.14 × 120°/360° = 150.72 - 37.68 = 113.04 m²
도형 (1)과 차례가 똑같고 수만 달라집니다. 같은 절차를 두 번 밟아 보아야 다음 단계에서 규칙이 눈에 들어옵니다.
7.G.B.6Identify Subproblems7STEP 7
규칙 찾기 - 가운뎃선의 길이 곱하기 폭
가운뎃선의 길이에 폭을 곱해도 같습니다.
((10+5) × 2 × 3.14 × 45°/360°) × 10 = 11.775 × 10 = 117.75 m²
먼 길로 두 문제를 풀어 놓고 둘 다 (가운뎃선) × (폭)과 같다는 것을 확인해야 지름길을 믿을 수 있습니다. 안쪽 호는 너무 짧고 바깥쪽 호는 너무 기니, 딱 가운데 있는 호를 쓰는 것이 공평합니다.
6.NS.B.3Look For A Pattern정답
117.75, 113.04 m²
157 − 39.25 = 117.75
두 답 모두 m² 단위의 넓이인데, 계산할 때마다 길이 두 개를 곱했으니 맞습니다. 크기도 그럴듯합니다. 도형 (1)의 띠는 안쪽 부채꼴 39.25 m²와 바깥쪽 부채꼴 157 m² 사이에 있어야 하는데, 117.75는 그 사이에 있고 157 - 39.25와 정확히 같습니다. 어림으로도 확인됩니다. (1)의 띠는 폭이 10 m이고 가운뎃호가 약 11.8 m이니 넓이가 약 118 m², 답과 맞아떨어집니다. (2)는 폭 6 m에 가운뎃호가 약 18.8 m이니 약 113 m²로 역시 맞습니다. 두 띠 모두 바깥쪽 부채꼴의 3/4이라는 점도 눈여겨볼 만합니다(117.75 ÷ 157 = 0.75, 113.04 ÷ 150.72 = 0.75). 바깥쪽 반지름이 안쪽의 두 배이면 안쪽 부채꼴이 바깥쪽의 1/4이 되므로 반드시 그렇게 나옵니다.
핵심 정리
굽은 길은 큰 부채꼴에서 작은 부채꼴을 도려낸 것일 뿐이고, 그 넓이는 언제나 가운뎃호의 길이에 폭을 곱한 값입니다.
- 띠를 부채꼴 두 개의 차로 바꾸기
- 도형 (1): 두 반지름 읽어 내기
- 도형 (1): 45°는 원의 얼마만큼일까
- 도형 (1): 두 부채꼴의 넓이를 빼기
- 도형 (2): 두 반지름과 분수 읽어 내기
- 도형 (2): 두 부채꼴의 넓이를 빼기
- 규칙 찾기 - 가운뎃선의 길이 곱하기 폭
이어서 풀어볼까요