문제
구멍이 뚫린 원기둥의 겉넓이
원기둥 가운데를 축을 따라 더 가는 원기둥 모양으로 뚫었습니다. 남은 것은 두꺼운 관처럼 생겼습니다. 양 끝은 도넛 모양이고 안쪽에도 벽이 있습니다. 겉넓이를 구합니다.
사고력 · 초6-2 최단거리와 겉넓이
내 답
조심 구멍을 뚫으면 넓이가 줄 것 같지만 안쪽 벽이 새로 생겨 오히려 늘어납니다.
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기 — 구멍 뚫린 원기둥의 겉넓이를 한 번에 내주는 공식은 없습니다. 하지만 그 조각 하나하나에는 공식이 다 있습니다. 그래서 손가락으로 입체의 겉면을 빠짐없이 훑으면서, 겹치지도 빠지지도 않게 조각을 나눕니다. 양쪽 끝의 납작한 도넛 두 개, 바깥쪽 굽은 옆면, 그리고 굴 안쪽 벽입니다. 그러고 나면 조각마다 한 줄 계산으로 끝납니다. 도넛은 큰 원에서 작은 원을 뺀 것이고, 굽은 옆면은 펼치면 직사각형이 되니까요. 마지막에 다 더하면 답입니다. 다만 그 앞에 그림부터 제대로 읽어야 합니다. 밑면에 적힌 두 수가 중심에서 뻗은 한 선 위에 이어 놓여 있어서, 두 번째 수를 밑면의 반지름으로 착각하기 딱 좋기 때문입니다.
1STEP 1
밑면에서 두 반지름 읽어 내기
두 반지름은 1 cm와 3 cm입니다.
(구멍의 반지름) = 1 cm, (밑면의 반지름) = 1 + 2 = 3 cm
반지름은 언제나 중심에서 재는 길이입니다. 중심에서 나가는 한 선 위에 두 도막이 이어져 있다면 더할 수밖에 없습니다. 그림도 같은 말을 합니다. 밑면이 구멍의 세 배 너비로 그려져 있으니까요.
7.G.B.4Draw A Diagram2STEP 2
겉면을 네 조각으로 나누기
겉면은 도넛 둘, 바깥 벽, 안쪽 벽입니다.
(겉넓이) = 2 × (도넛 모양 밑면) + (바깥쪽 옆면) + (구멍의 벽)
겉넓이는 결국 물감을 칠할 수 있는 모든 면의 합입니다. 그러니 넓이를 구하기 전에 면의 이름부터 하나씩 불러 보는 것이 가장 안전한 방법입니다.
7.G.B.6Identify Subproblems3STEP 3
양쪽 도넛 모양 밑면의 넓이
도넛 두 개는 48 cm²입니다.
(3 × 3 × 3) - (1 × 1 × 3) = 27 - 3 = 24, 24 × 2 = 48 cm²
도넛 모양에는 제 이름의 공식이 없지만, 큰 원에서 작은 원을 덜어 낸 나머지일 뿐입니다. 까다로워 보이던 모양이 뺄셈 한 번으로 정리됩니다.
7.G.B.4Change Focus Count The Complement4STEP 4
바깥쪽 옆면은 펼치면 직사각형
바깥 벽은 펼치면 144 cm²입니다.
(6 × 3) × 8 = 18 × 8 = 144 cm²
펼치기만 하면 굽은 면이 평범한 직사각형으로 바뀝니다. 직사각형의 넓이는 이미 아는 것이고, 새로 알아야 할 사실은 펼친 종이의 가로가 밑면인 원의 둘레라는 것 하나뿐입니다.
6.G.A.4Create A Physical Representation바깥 벽은 가로가 원의 둘레이고 세로가 기둥의 높이인 평범한 직사각형으로 펼쳐진다.
왜?
펼치기는 벽을 늘이지 않고 평평하게 펴므로, 벽 위의 모든 길이가 그대로 옮겨진다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
전체 겉넓이는 양 끝의 고리 둘과 벽 둘을 합친 것이며, 그 사이에 빈틈도 겹침도 없다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
5STEP 5
구멍의 벽도 똑같이 펼치기
구멍의 벽은 48 cm²입니다.
(2 × 3) × 8 = 6 × 8 = 48 cm²
구멍을 뚫으면 겉면이 줄어들기만 할 것 같지만, 굴의 벽은 전에는 없던 새 껍질입니다. 바깥쪽 옆면과 똑같이 세어 주어야 합니다.
6.G.A.4Create A Physical Representation6STEP 6
네 조각을 모두 더하기
모두 더하면 240 cm²입니다.
48 + 144 + 48 = 240 cm²
겹치지 않게 조각을 나누어 놓았다면 남은 일은 더하기뿐입니다. 어려운 생각은 나누는 데서 이미 다 했습니다.
7.G.B.6Identify Subproblems7STEP 7
구멍 뚫기 전의 원기둥에서 출발해 검산하기
뚫기 전에서 출발해도 240 cm²입니다.
198 - 6 + 48 = 240 cm²
구멍을 뚫으면 껍질이 없어지기도 하고 생기기도 합니다. 새로 생긴 굴의 벽 48이 사라진 원 두 개 6보다 훨씬 크다는 것을 보면, 구멍 뚫린 원기둥의 겉넓이가 왜 오히려 늘어나는지 알 수 있습니다.
7.G.B.6Change Focus Count The Complement정답
240 cm²
48 + 144 + 48 = 240
단위부터 맞습니다. 조각마다 길이에 길이를 곱했으니 답은 cm²이고, 문제도 cm²를 묻고 있습니다. 크기도 그럴듯합니다. 바깥쪽 옆면만 해도 144이고 도넛 두 개와 굴의 벽이 각각 48이니, 240은 바깥쪽 옆면의 한 배 반을 조금 넘는 값입니다. 겉면의 대부분이 바깥쪽 옆면인 모양이라면 이 정도가 자연스럽습니다. 구멍을 뚫기 전의 198보다 조금 큰 것도 반드시 그래야 하는 일입니다. 뚫으면서 작은 원 두 개 6을 잃지만 굴의 벽 48을 얻으니까요. 이 문제가 부르기 쉬운 실수도 한번 짚어 둡니다. 만약 밑면의 반지름을 3 cm가 아니라 2 cm로 잘못 읽으면 2 × (12 - 3) + 12 × 8 + 6 × 8 = 18 + 96 + 48 = 162가 나옵니다. 240이 아닙니다. 그림과 답 어느 쪽으로 보아도 밑면의 반지름은 1 + 2 = 3 cm입니다.
핵심 정리
구멍을 끝까지 뚫으면 작은 원 두 개가 없어지는 대신 굴의 벽이 통째로 생깁니다. 그러니 더하기를 시작하기 전에 물감을 칠할 수 있는 면의 이름부터 하나씩 불러 보세요.
- 밑면에서 두 반지름 읽어 내기
- 겉면을 네 조각으로 나누기
- 양쪽 도넛 모양 밑면의 넓이
- 바깥쪽 옆면은 펼치면 직사각형
- 구멍의 벽도 똑같이 펼치기
- 네 조각을 모두 더하기
- 구멍 뚫기 전의 원기둥에서 출발해 검산하기
이어서 풀어볼까요