문제
복잡한 도형의 넓이
도형 (1)은 높이 10 cm인 H 모양으로, 위아래 가운데가 깊이 4 cm, 너비 4 cm로 파이고 양옆 기둥은 너비가 2 cm씩입니다. 도형 (2)는 가로 12 cm, 세로 9 cm인 직사각형에서 ㄴ자 구멍을 뺀 모양입니다. ㄴ자는 가로 3 cm, 세로 7 cm인 기둥에 가로 3 cm, 세로 2 cm인 발이 붙은 모양입니다. 두 도형의 넓이를 각각 구합니다.
사고력 · 초5-1 도형의 넓이
내 답
조심 길이가 모자라 보이지만 적히지 않은 길이도 다른 수를 더해 구할 수 있습니다.
풀이 과정
전략 관점 바꾸기 — 두 도형 모두 조각을 하나씩 더해 나가면 손이 많이 가지만, '단순한 도형에서 단순한 도형을 뺀 것'으로 보면 훨씬 쉬워집니다. 그래서 색칠된 부분을 곧바로 쫓지 않고, 각 도형을 딱 맞게 감싸는 가장 작은 직사각형을 먼저 그려 넓이를 구한 뒤 덜어낸 흰 부분의 넓이를 빼기로 합니다. 이렇게 하면 두 문제가 모두 직사각형 두세 개의 넓이 계산으로 줄고, 하나하나는 가로 곱하기 세로일 뿐입니다. 남는 일은 그림에 적혀 있지 않은 길이를 읽어 내는 것인데, '한 변의 길이는 그 변이 나뉜 조각들의 합과 같다'는 사실만 알아채면 그림이 답을 알려 줍니다. 마지막에는 도형 (1)을 막대별로 다시 더해 보며 따로 확인합니다.
1STEP 1
도형 (1): 적혀 있지 않은 가로 되찾기
(1)의 적히지 않은 가로는 8 cm입니다.
2 + 4 + 2 = 8 cm
곧은 변의 길이는 그 변이 잘린 조각들의 길이를 모두 더한 것과 같습니다. 그래서 적혀 있는 조각만 더해도 그림에 없던 길이를 되찾을 수 있습니다.
3.MD.D.8Draw A Diagram2STEP 2
도형 (1): 가장 작은 직사각형으로 감싸기
감싸는 직사각형의 넓이는 80 cm²입니다.
8 × 10 = 80 cm²
직사각형의 넓이는 가로 곱하기 세로이고, 도형을 감싸는 가장 작은 직사각형은 언제나 가장 먼저 재기 쉬운 대상입니다.
4.MD.A.3Change Focus Count The Complement도형을 감싸는 가장 작은 직사각형을 씌우면 넓이가 쉬운 곱에서 파인 부분을 뺀 것이 된다.
왜?
도형과 파인 부분은 빈틈도 겹침도 없이 그 직사각형을 채우므로, 넓이를 더하면 직사각형이 된다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
직사각형과 파인 부분을 알 때 빼면 도형이 돌아오는데, 덜어내기가 합치기를 되돌리기 때문이다.
🧱역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
3STEP 3
도형 (1): 파인 두 곳 빼기
파인 두 곳을 빼면 48 cm²입니다.
4 × 4 = 16, 16 × 2 = 32, 80 - 32 = 48 cm²
직사각형을 몇 군데 베어 문 모양이라면, 전체 넓이는 조각들의 넓이를 더한 것과 같으므로 색칠된 부분은 큰 넓이에서 베어 문 부분을 뺀 값입니다.
3.MD.C.7Change Focus Count The Complement4STEP 4
도형 (1): 막대 세 개로 나누어 검산하기
막대 셋으로 나누어도 48 cm²입니다.
2 × 10 × 2 = 40, 10 - 4 - 4 = 2, 4 × 2 = 8, 40 + 8 = 48 cm²
직각으로만 꺾인 도형을 겹치지 않는 직사각형으로 나누어 더한 값은, 구멍을 빼서 구한 값과 반드시 같아야 합니다. 두 길이 만난다는 것 자체가 진짜 검산입니다.
3.MD.C.7Identify Subproblems5STEP 5
도형 (2): 직사각형 전체의 넓이 구하기
(2)의 직사각형 전체는 108 cm²입니다.
12 × 9 = 108 cm²
도형 안쪽에만 있는 구멍은 바깥 테두리를 건드리지 않습니다. 그러니 바깥 넓이를 먼저 구해 놓고 나중에 바로잡아도 아무 문제가 없습니다.
4.MD.A.3Change Focus Count The Complement6STEP 6
도형 (2): ㄴ자 구멍의 넓이 구하기
ㄴ자 구멍은 27 cm²입니다.
3 × 7 = 21, 3 × 2 = 6, 21 + 6 = 27 cm²
ㄴ자는 직사각형 두 개를 맞붙여 놓은 모양이고 곧은 선 하나면 둘로 갈라집니다. 그러니 넓이는 쉬운 곱셈 두 개의 합일 뿐입니다.
3.MD.C.7Identify Subproblems7STEP 7
도형 (2): 빼기, 그리고 ㄴ자를 다른 방향으로 다시 재기
빼면 81 cm²입니다.
108 - 27 = 81 cm²; 6 × 2 = 12, 3 × 5 = 15, 12 + 15 = 27
같은 ㄴ자를 다른 선으로 잘라도 넓이는 같아야 합니다. 두 값이 맞아떨어지면 계산에서 실수했을 가능성이 거의 없습니다.
3.MD.C.7Change Focus Count The Complement정답
48, 81 cm²
80 − 32 = 48, 108 − 27 = 81
두 답 모두 넓이이므로 cm² 단위가 맞습니다. 도형 (1)의 48 cm²는 감싸는 직사각형 8 × 10 = 80 cm²보다 작고 그 절반보다는 크니, 넓이 16짜리 정사각형 모양으로 두 군데를 베어 문 도형으로는 알맞습니다. 게다가 80 - 32와 40 + 8이라는 서로 다른 두 길이 정확히 같은 값을 냈습니다. 도형 (2)의 81 cm²는 직사각형 전체 108 cm²보다 딱 구멍의 27 cm²만큼 작습니다. 27은 108의 일부에 지나지 않는데, 그림에서도 흰 ㄴ자가 분명히 작은 쪽이라 잘 맞습니다. ㄴ자를 두 가지 방법으로 갈라 재도 27이 나왔습니다. 거꾸로 더해 보아도 48 + 32 = 80, 81 + 27 = 108로 각각 감싸는 직사각형과 바깥 직사각형이 됩니다.
핵심 정리
울퉁불퉁한 도형도 결국은 직사각형에서 직사각형 몇 개를 덜어낸 것이에요. 큰 것을 먼저 구하고 구멍을 빼면 어려워 보이던 도형이 사라진답니다!
- 도형 (1): 적혀 있지 않은 가로 되찾기
- 도형 (1): 가장 작은 직사각형으로 감싸기
- 도형 (1): 파인 두 곳 빼기
- 도형 (1): 막대 세 개로 나누어 검산하기
- 도형 (2): 직사각형 전체의 넓이 구하기
- 도형 (2): ㄴ자 구멍의 넓이 구하기
- 도형 (2): 빼기, 그리고 ㄴ자를 다른 방향으로 다시 재기
이어서 풀어볼까요