문제
둘레와 넓이의 관계
한 변의 길이를 모르는 정사각형이 있습니다. 가로를 4 cm, 세로를 2 cm 늘여 직사각형을 만들었습니다. 그랬더니 넓이가 50 cm² 늘어났습니다. 처음 정사각형의 넓이를 구합니다.
사고력 · 초5-1 둘레와 넓이
내 답
조심 한 변 7을 구하고 멈추기 쉽지만 묻는 것은 넓이입니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 문장이 그림을 그대로 설명하고 있으니 먼저 그려 봅니다. 처음 정사각형 옆에 띠 하나가 붙고 위에도 띠 하나가 붙는 모양입니다. 이렇게 그려 놓으면 덧붙은 부분이 알 수 없는 덩어리가 아니라 직사각형 세 개로 깔끔하게 갈라지고, 각 조각의 넓이를 구하는 일은 저마다 쉬운 작은 문제가 됩니다. 세 조각 가운데 둘은 모르는 변의 길이에 따라 달라지지만 나머지 하나는 크기가 완전히 정해져 있어서, 50 cm²라는 조건이 한 변의 길이를 콕 집어 줍니다. 마지막에는 구한 수를 문제의 처음 문장에 그대로 넣어 덧붙은 부분이 정말 50 cm²가 되는지 확인합니다.
1STEP 1
정사각형과 두 띠를 그려 보기
정사각형에 가로 띠와 세로 띠를 붙여 그립니다.
새 가로 = 변 + 4, 새 세로 = 변 + 2
말로만 듣던 '늘인다'를 그림으로 옮기면 덧붙은 부분이 결국 납작한 직사각형 몇 개라는 것이 한눈에 들어옵니다. 직사각형의 넓이라면 이미 구할 줄 아는 것이지요.
3.MD.C.7Draw A Diagram2STEP 2
늘어난 부분을 세 조각으로 쪼개기
늘어난 부분은 두 띠와 모퉁이 세 조각입니다.
4 × 변 + 2 × 변 + 4 × 2
울퉁불퉁한 한 덩어리를 직사각형 셋으로 쪼개면 어려운 넓이 하나가 쉬운 넓이 셋의 합으로 바뀝니다. 게다가 모퉁이 조각은 크기가 이미 완전히 정해져 있습니다.
3.MD.C.7Identify Subproblems늘어난 넓이는 넓이를 쉽게 적을 수 있는 평범한 직사각형 세 개로 갈린다.
왜?
세 조각은 빈틈도 겹침도 없이 늘어난 영역을 덮으므로, 그 넓이를 더하면 늘어난 전체가 된다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
셋 중 둘은 정사각형의 변을 인수로 공유하므로, 그 공통된 변을 뽑아내어 합을 간결하게 적을 수 있다.
🧱분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
3STEP 3
세 조각을 더해 50과 견주기
합이 50이므로 한 변의 6배는 42입니다.
6 × 변 + 8 = 50 → 6 × 변 = 42
크기를 이미 아는 조각 하나만 먼저 떼어 내면 복잡하던 그림이 '무엇을 6번 더하면 42' 라는 아주 단순한 문장으로 줄어듭니다.
3.MD.C.7Identify Subproblems4STEP 4
한 변의 길이 구하기
한 변은 7입니다.
변 = 42 ÷ 6 = 7 cm
'6 곱하기 얼마가 42'에서 빠진 수를 찾는 일은 구구단만 알면 되는 나눗셈입니다. 어려운 식을 세우지 않아도 한 변의 길이가 풀려 나옵니다.
3.OA.A.4Identify Subproblems5STEP 5
구한 수를 문제 문장에 그대로 넣어 확인하기
늘인 직사각형과 견주면 차가 50으로 맞습니다.
7 × 7 = 49, 11 × 9 = 99, 99 - 49 = 50
풀이 과정이 아니라 문제 문장으로 되돌아가 확인하면, 식을 세우는 첫 단계에서 잘못했더라도 그 실수까지 잡아낼 수 있습니다.
4.MD.A.3Guess And Check6STEP 6
문제가 물은 값 답하기
묻는 넓이는 49입니다.
7 × 7 = 49 cm²
7이 나오는 순간 다 풀었다고 멈추기 쉽습니다. 마지막에 문제를 한 번 더 읽어 무엇을 물었는지 확인하는 습관이 답을 지켜 줍니다.
4.MD.A.3Guess And Check정답
49 cm²
7 × 7 = 49
구한 값은 넓이이므로 단위가 cm²인 것이 맞습니다. 49 cm²는 한 변이 7 cm인 정사각형이니 손바닥에 들어오는 크기로 생활 감각에도 어긋나지 않습니다. 새 직사각형은 11 × 9 = 99 cm²라서 넓이가 거의 두 배가 되는데, 이는 덧붙은 50 cm²가 처음 넓이 49 cm²와 비슷하다는 것과 잘 맞습니다. 또 덧붙은 넓이는 모퉁이 조각 때문에 4 × 7 + 2 × 7 = 42 cm²보다 반드시 커야 하는데, 50은 딱 모퉁이의 8 cm²만큼 큽니다. 띠를 하나 빠뜨렸거나 모퉁이를 잊은 흔적은 없습니다.
핵심 정리
늘인 모양을 그려 보면 덧붙은 부분이 띠 두 개와 모퉁이 하나로 갈라져요. 크기를 이미 아는 모퉁이를 먼저 빼내면 모르던 한 변의 길이가 저절로 튀어나온답니다!
- 정사각형과 두 띠를 그려 보기
- 늘어난 부분을 세 조각으로 쪼개기
- 세 조각을 더해 50과 견주기
- 한 변의 길이 구하기
- 구한 수를 문제 문장에 그대로 넣어 확인하기
- 문제가 물은 값 답하기
이어서 풀어볼까요