문제
복잡한 입체도형의 겉넓이
입체도형 두 개가 그려져 있습니다. (1)은 정육면체에 작은 정육면체를 붙인 모양입니다. (2)는 직육면체에서 작은 직육면체를 파낸 모양입니다. 두 입체의 겉넓이를 각각 구합니다.
사고력 · 초6-1 입체도형의 겉넓이와 부피
내 답
조심 홈을 파면 겉넓이가 줄 것 같지만 안쪽 벽이 그만큼 생겨 그대로입니다.
풀이 과정
전략 다르게 정리하기 — 입체도형 (2)에서 직사각형 아홉 장을 하나하나 더하다 보면 실수가 나기 쉽고, 더 큰 문제는 그 직사각형들을 구하는 데 필요한 깊이가 그림에 아예 적혀 있지 않다는 점입니다. 그래서 면을 제자리에서 세는 대신 면을 옮깁니다. 홈의 안쪽 벽을 바깥쪽으로 곧게 밀어, 자기가 남긴 구멍을 메우게 하는 것입니다. 벽마다 딱 자기 크기의 구멍으로 들어가므로 넓이의 합은 조금도 달라지지 않고, 남는 것은 겉넓이 공식 한 줄이면 끝나는 평범한 직육면체입니다. 입체도형 (1)도 같은 생각을 거꾸로 쓰면 됩니다. 작은 정육면체의 앞면을 뒤로 밀어 큰 정육면체의 앞면 속으로 넣는 것이지요. 다만 그전에 그림을 꼼꼼히 읽어야 합니다. 두 답 모두 그림이 절반만 말해 주는 사실에 기대고 있기 때문입니다.
1STEP 1
계산에 손대기 전에 두 그림부터 읽기
먼저 각 입체의 길이를 정합니다.
(깊이) = 3 + 2 = 5 cm, (감싸는 직육면체) = 9 × 5 × 8
입체를 그린 그림은 언제나 어딘가를 감춥니다. 그러니 첫 번째 할 일은 이 입체가 실제로 어떤 모양인지부터 정하는 것입니다. 이 다음에 나오는 모든 수가 깊이 5 cm에 매달려 있는데, 그 5 cm를 대놓고 적어 준 표시는 그림에 하나도 없습니다. 표시 두 개를 더해서 얻은 값입니다.
6.G.A.4Visualize Spatial Relationships2STEP 2
(1) 먼저 정육면체만 생각하기
(1)의 정육면체만이면 54 cm²입니다.
6 × (3 × 3) = 6 × 9 = 54 cm²
입체의 껍질을 이루는 평평한 직사각형들로 쪼개면, 입체 문제가 가로×세로 몇 번으로 끝나는 쉬운 곱셈이 됩니다.
4.MD.A.3Identify Subproblems3STEP 3
(1) 작은 정육면체를 붙이면 무엇이 달라지는가
작은 정육면체가 1을 가리고 5를 더합니다.
54 - 1 + 5 = 58 cm²
덩어리를 하나 붙이면 언제나 정사각형 하나가 가려지고 그 덩어리의 나머지 다섯 면이 드러납니다. 처음부터 새로 계산할 일이 아니라, 셀 수 있는 작은 맞바꿈일 뿐입니다.
7.G.B.6Identify Subproblems4STEP 4
(1) 면을 밀어서 다시 구하기 — 뒤에 필요한 방법
그래서 (1)은 58 cm²입니다.
9 + (9 × 5) + (1 × 4) = 9 + 45 + 4 = 58 cm²
면을 옆으로 밀어도 그 넓이는 달라지지 않으니 이것은 공짜로 쓸 수 있는 수입니다. 게다가 서로 다른 두 방법이 똑같이 58을 내놓았다는 것은 그림을 제대로 읽었다는 좋은 신호입니다.
6.G.A.4Organize Information In More Ways안쪽 벽을 저마다 감싸는 상자 쪽으로 밀어내도 겉넓이는 그대로다.
왜?
면을 밀어도 크기는 그대로이므로, 상자로 옮겨 간 넓이는 파인 곳에서 떠난 넓이와 정확히 같다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
전체 겉넓이는 면들을 합친 것이므로, 한 면을 같은 넓이의 것으로 바꾸어도 총합은 건드려지지 않는다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
5STEP 5
(2) 홈의 크기를 적어 두기
(2)의 파낸 부분의 크기를 적어 둡니다.
(덜어 낸 덩어리) = 4 × 3 × 6, 8 - 2 = 6
홈의 세 길이를 직육면체의 세 길이와 같은 차례, 곧 가로·깊이·높이 순으로 적어 두면 다음 단계에서 어느 면이 어느 면과 짝인지 헷갈리지 않습니다.
6.G.A.4Draw A Diagram6STEP 6
(2) 안쪽 세 벽을 바깥으로 밀어도 아무것도 달라지지 않음을 보기
안쪽 세 벽을 밖으로 밀어도 넓이가 그대로입니다.
4 × 3 = 12, 4 × 6 = 24, 3 × 6 = 18
이 방법이 통하는 까닭은 덩어리를 귀퉁이에서 잘라 냈기 때문입니다. 안쪽 벽마다 마주 보는 바깥 면과 나란하고 그 구멍과 크기가 꼭 같습니다. 면 한가운데를 파냈다면 옆벽들이 들어갈 자리가 없어서 겉넓이가 늘어났을 것입니다.
7.G.B.6Organize Information In More Ways7STEP 7
(2) 그 직육면체의 겉넓이 구하기
그러면 원래 직육면체의 겉넓이 314 cm²입니다.
2(9 × 5) + 2(9 × 8) + 2(5 × 8) = 90 + 144 + 80 = 314 cm²
일단 평범한 직육면체로 바꾸어 놓으면 잘 아는 공식 하나로 끝납니다. 면을 옮기는 수고를 굳이 한 이유가 바로 이것입니다.
7.G.B.6Identify Subproblems8STEP 8
(1)을 달리 읽었을 때에 대한 덧붙임
(1)을 밀어서 구해도 58 cm²입니다.
54 - 1 + 5 = 58 cm² (어느 쪽으로 읽어도)
그림이 애매할 때 그 애매함이 답을 바꾸는지 안 바꾸는지 아는 것은 값진 일입니다. 여기서는 바꾸지 않고, 그래서 그림이 이만큼 간략해도 넘어갈 수 있었던 것입니다.
7.G.B.6Visualize Spatial Relationships정답
58, 314 cm²
54 − 1 + 5 = 58
입체도형 (2)를 밀기 없이 면 하나하나 세는 긴 방법으로 확인해 봅니다. 윗면은 9 × 5 = 45에서 홈이 차지한 4 × 3 = 12를 빼서 33, 홈의 바닥면은 12, 아랫면은 45입니다. 앞면은 9 × 8 = 72에서 홈이 뚫린 4 × 6 = 24를 빼서 48, 홈의 뒷면은 24, 뒷면은 72입니다. 왼쪽 면은 5 × 8 = 40에서 홈이 뚫린 3 × 6 = 18을 빼서 22, 홈의 오른쪽 벽은 18, 오른쪽 면은 40입니다. 아홉 조각을 모두 더하면 33 + 12 + 45 + 48 + 24 + 72 + 22 + 18 + 40 = 314 cm²로 앞의 답과 같습니다. 입체도형 (1)도 이치에 맞습니다. 그냥 정육면체가 54인데 작은 정육면체를 붙였으니 조금만 늘어야 하고, 58 - 54 = 4는 정확히 1 cm짜리 정육면체의 옆면 네 개입니다. 두 답 모두 넓이에 맞는 cm² 단위이고, 어느 한 면(9와 72)보다는 훨씬 크면서 터무니없이 부풀지도 않았으니 크기도 있어야 할 자리에 있습니다. 한 가지 더, 홈은 입체도형 (2)의 부피는 360 cm³ 가운데 4 × 3 × 6 = 72 cm³나 덜어 내면서도 겉넓이는 그대로 두었습니다. 이 문제가 말하고 싶은 것이 바로 그 점입니다.
핵심 정리
안쪽으로 밀려 들어간 면을 도로 밖으로 밀어내 보세요. 귀퉁이를 베어 문 자국은 겉넓이를 원래 직육면체와 똑같이 남겨 둡니다.
- 계산에 손대기 전에 두 그림부터 읽기
- (1) 먼저 정육면체만 생각하기
- (1) 작은 정육면체를 붙이면 무엇이 달라지는가
- (1) 면을 밀어서 다시 구하기 — 뒤에 필요한 방법
- (2) 홈의 크기를 적어 두기
- (2) 안쪽 세 벽을 바깥으로 밀어도 아무것도 달라지지 않음을 보기
- (2) 그 직육면체의 겉넓이 구하기
- (1)을 달리 읽었을 때에 대한 덧붙임