문제
색칠한 부분의 넓이(2)
지름이 12 cm인 반원 종이의 굽은 쪽에 물감을 묻혔습니다. 종이를 돌리지 않고 곧장 아래로 3 cm 밀었습니다. 색칠한 부분은 처음 호와 옮긴 호 사이의 띠입니다. 색칠한 부분의 넓이를 구합니다.
사고력 · 초6-2 색칠한 부분의 넓이
내 답
조심 굽은 띠라 어려워 보이지만 두 반원이 서로 지워져 직사각형만 남습니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 색칠된 띠는 그대로 재기에는 아주 고약한 모양입니다. 중심이 서로 어긋난 곡선 두 개가 위아래를 이루고 양 끝은 좁아지니까요. 그래서 이 띠를 직접 재지 않기로 합니다. 대신 눈을 돌려, 이 띠를 품고 있으면서 훨씬 다루기 쉬운 더 큰 영역을 봅니다. 처음 위치의 호 아래쪽으로 옮긴 뒤의 지름까지 이르는 영역 전체입니다. 이 영역은 반원 하나가 직사각형 위에 얹힌 모양이라 쉽습니다. 여기서 옮긴 뒤의 반원을 덜어 내면 색칠된 띠만 남습니다. 그런데 두 반원은 같은 종이를 옮겨 놓은 합동인 도형이라 서로 지워지고, 결국 직사각형 하나만 살아남습니다.
1STEP 1
반원을 직접 밀어 보고 물감이 지나간 자리 살피기
반원을 밀어 보며 물감이 지나간 자리를 봅니다.
종이를 밀어도 크기와 모양은 절대 달라지지 않습니다. 그러므로 나중에 본뜬 호는 처음 호를 그대로 아래로 옮겨 놓은 복사본입니다. 풀이 전체가 바로 이 한 가지 사실 위에 서 있습니다.
8.G.A.1Create A Physical Representation2STEP 2
눈을 돌려 처음 호 아래 영역 전체 보기
색칠한 부분은 처음 호 아래 영역에서 옮긴 반원을 뺀 것입니다.
(색칠된 부분) = (처음 호 아래 영역 전체) - (옮긴 뒤의 반원)
재기 어려운 도형이 재기 쉬운 도형 안에 들어 있으면, 쉬운 쪽을 재고 빼면 됩니다. 남는 것을 곧바로 구하려 애쓰기보다 이 편이 훨씬 수월할 때가 많습니다.
6.G.A.1Change Focus Count The Complement3STEP 3
큰 영역을 반원과 직사각형으로 쪼개기
그 영역은 반원과 직사각형으로 쪼개집니다.
(처음 호 아래 영역 전체) = (처음 위치의 반원) + (가로 12, 세로 3 인 직사각형)
선 하나만 더 그으면 울퉁불퉁한 도형이 오래전부터 다룰 줄 알던 도형 두 개로 바뀝니다. 곧장 아래로 미는 동안 지름은 가로로 놓인 채 길이도 그대로였으므로 직사각형은 가로 12, 세로 3입니다.
6.G.A.1Identify Subproblems4STEP 4
두 사실을 합치면 반원끼리 지워진다
두 반원이 지워져 직사각형만 남습니다.
(색칠된 부분) = (반원) + (직사각형) - (반원) = (직사각형)
이 문제가 노리는 것이 바로 이 대목입니다. 밀기는 넓이를 옮겨 놓을 뿐 새로 만들지도 없애지도 않습니다. 그래서 옮겨 간 복사본이 처음 것과 서로 지워지고, 새로 생긴 넓이는 도형이 쓸고 지나간 띠뿐입니다.
8.G.A.1Change Focus Count The Complement두 반원이 서로 지워지므로, 쓸고 간 띠는 도형이 미끄러져 지나간 직사각형과 정확히 같다.
왜?
도형을 밀어도 크기가 달라지지 않으므로, 끝에서의 호는 시작에서의 호와 정확히 같은 복사본이다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
같은 반원이 한쪽 끝에서 더해지고 다른 쪽 끝에서 빠지므로, 두 영역의 차는 건드려지지 않는다.
🧱둘을 같이 옮기면 차는 그대로두 점을 수직선에서 같은 거리만큼 밀면 둘 사이의 간격은 결코 변하지 않는다.
5STEP 5
직사각형의 넓이 구하기
그 직사각형은 36 cm²입니다.
12 × 3 = 36 cm²
굽은 부분이 서로 지워지고 나면 남는 계산은 직사각형의 넓이 하나뿐입니다.
4.MD.A.3Identify Subproblems6STEP 6
먼 길로도 한 번 해 보며 확인하기
먼 길로 계산해도 36 cm²입니다.
(6 × 6 × 3.1 ÷ 2 + 12 × 3) - 6 × 6 × 3.1 ÷ 2 = 55.8 + 36 - 55.8 = 36 cm²
한 번쯤 수로 확인해 보아야 지름길이 바람이 아니라 사실임을 알 수 있습니다. 문제에 적힌 3.1이 사실은 필요 없다는 것을 알아채는지 보려고 놓아둔 수라는 것도 이때 드러납니다.
7.G.B.4Draw A Diagram정답
36 cm²
12 × 3 = 36
답이 cm² 단위의 넓이라는 점은 길이 두 개를 곱했으니 맞습니다. 크기도 수긍이 갑니다. 두 지름 사이의 거리는 어디서나 3 cm이고 지름의 길이는 12 cm이니, 물감이 쓸고 지나간 넓이가 12 × 3 = 36 cm²이 되는 것은 자연스럽습니다. 위쪽 지름보다 위로 볼록 나온 호 부분은 밀리면서 그대로 아래쪽으로 옮겨 가 서로 채워 주기 때문입니다. 종이 자체와 견주어 보아도 좋습니다. 반원의 넓이가 55.8 cm²이니 36 cm²짜리 띠는 종이의 2/3에 조금 못 미치는데, 높이가 6 cm인 도형을 3 cm 민 것치고 알맞은 값입니다. 한 가지 더, 답이 원주율에 기대지 않고 오직 12와 3에만 기댄다는 점도 옳습니다. 어떤 도형이든 곧장 밀기만 하면 쓸고 지나간 넓이는 (움직인 방향에 수직으로 잰 너비) × (움직인 거리)가 되기 때문입니다.
핵심 정리
도형을 밀어도 넓이는 생기지도 사라지지도 않습니다. 그래서 두 반원이 서로 지워지고, 물감이 남긴 자국은 결국 가로 12 cm, 세로 3 cm인 직사각형입니다.
- 반원을 직접 밀어 보고 물감이 지나간 자리 살피기
- 눈을 돌려 처음 호 아래 영역 전체 보기
- 큰 영역을 반원과 직사각형으로 쪼개기
- 두 사실을 합치면 반원끼리 지워진다
- 직사각형의 넓이 구하기
- 먼 길로도 한 번 해 보며 확인하기
이어서 풀어볼까요