문제
색종이 접기
세로로 긴 직사각형 색종이를 점선을 따라 한 번 접습니다. 접는 선 자국과 밑에 가려진 부분은 그리지 않고 바깥 테두리만 그립니다. 보기의 규칙을 접는 선이 다른 네 경우에 그대로 적용합니다. 네 경우의 테두리를 각각 그립니다.
사고력 · 초4-1 색종이 겹치기, 접기, 자르기
내 답
조심 접으면 늘 작아진다고 생각하기 쉽지만, 꼭짓점이 종이 밖으로 나가 뾰족한 부분이 생기기도 합니다.
풀이 과정
전략 직접 만져보기 — 접었을 때 무슨 일이 벌어지는지 확인하는 가장 확실한 방법은 같은 자리에 점선을 그은 진짜 직사각형 종이를 접어 가장자리를 살펴보는 것입니다. 접혀 넘어간 부분 전체를 한꺼번에 머리에 그리려 하지 말고 꼭짓점만 쫓아가면 됩니다. 접는 선 위에 놓인 꼭짓점은 움직이지 않으니 제쳐 두고, 움직이는 꼭짓점이 어디로 가는지만 찍으면 점 네 개로 테두리가 다 정해집니다. 보기는 같은 일을 더 쉬운 형태로 보여 주는 예이니, 거기서 규칙을 먼저 읽고 네 번 되풀이합니다.
1STEP 1
보기에서 규칙 읽어 내기
보기에서 접는 선 위의 두 점은 그대로 있습니다.
선을 따라 접는 것은 4학년에서 배우는 대칭축 이야기 그대로입니다. 접으면 넘어간 부분이 자기 거울상과 딱 맞아떨어지니, 접는 선은 종이 위에 세워 둔 거울인 셈입니다.
4.G.A.3Solve An Easier Related Problem2STEP 2
꼭짓점 하나에 대한 거울 규칙 정하기
꼭짓점은 거울처럼 건너편 같은 거리로 옮겨집니다.
뒤집기가 알려 주는 사실은 딱 하나입니다. 곧장 건너편, 같은 거리, 늘어남 없음. 종이를 손에 들고 접은 자국을 꾹 눌러 빛에 비춰 보면 바로 확인됩니다.
8.G.A.1Create A Physical Representation접힌 모퉁이는 접힌 선을 곧장 가로질러 같은 거리에 내려앉으며, 늘어나는 것은 없다.
왜?
접힌 선은 거울처럼 작용하므로, 모퉁이와 내려앉는 자리는 그 선 양쪽으로 같은 거리에 있다.
🧱접은 선은 거울선이다접기는 한 점을 내려앉는 자리에 포개므로, 접힌 선은 두 점에서 같은 거리에 있고 둘을 이은 선분과 직각으로 만난다.
왜?
접기는 뒤집기이고 뒤집기는 모든 길이와 각을 지키므로, 접힌 조각은 원래 것의 정확한 복사본이다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
3STEP 3
첫째 그림: 접힌 부분이 종이 안에 다 들어가는 경우
(가)는 접힌 부분이 안에 들어가 4각형입니다.
첫째 테두리 = 사각형: 왼쪽 위 → 오른쪽 위 → 오른쪽 변 3/10 지점 → 왼쪽 아래
접는 선의 두 끝이 이미 꼭짓점이거나 변 위의 점이면 쫓아갈 꼭짓점이 하나만 남습니다. 거울 규칙을 한 번만 쓰면 그림 전체가 정해집니다.
8.G.A.1Visualize Spatial Relationships4STEP 4
둘째 그림: 한 꼭짓점은 위쪽 변에 닿고 다른 하나는 오른쪽으로 삐져나오는 경우
(나)는 한 꼭짓점이 위쪽 변에 닿고 하나가 튀어나와 6각형입니다.
둘째 테두리 = 육각형: 왼쪽 위 → 오른쪽 위 → 오른쪽 변 → 바깥으로 나온 뾰족한 점 → 오른쪽 변 7/10 지점 → 왼쪽 변 4/10 지점
힌트가 재는 일을 대신해 주고 있습니다. 꼭짓점이 위쪽 변에 닿는다는 말 한마디로 그 점이 계산 없이 정해지고, 남는 꼭짓점은 하나뿐입니다.
8.G.A.1Visualize Spatial Relationships5STEP 5
셋째 그림: 대각선을 따라 접는 경우
(다)는 대각선 접기라 오른쪽으로 삐져나와 5각형입니다.
셋째 테두리 = 오각형: 왼쪽 위 → 오른쪽 위 → 오른쪽 변 → 바깥으로 나온 뾰족한 점 → 오른쪽 아래 → 왼쪽 위
여기서 한 번 멈춰 생각할 만합니다. 대각선으로 접어 두 조각이 딱 포개지는 것은 정사각형일 때뿐입니다. 세로가 긴 직사각형에서는 접힌 쪽이 지나쳐 버리고, 그래서 한 조각이 변 밖으로 걸쳐 나옵니다.
8.G.A.1Visualize Spatial Relationships6STEP 6
넷째 그림: 힌트로 접는 선을 정하고 남은 꼭짓점 찾기
(라)는 힌트로 접는 선을 정하면 왼쪽으로 삐져나와 5각형입니다.
넷째 테두리 = 오각형: 왼쪽 위 → 오른쪽 위 → 오른쪽 변 1/4 지점 → 왼쪽 변 3/4 지점 → 왼쪽 바깥으로 나온 뾰족한 점
"두 점이 닿도록 접으시오"라는 말은 언제나 접는 선 하나를 콕 집어 줍니다. 두 점이 반대편에서 같은 거리에 놓이게 하는 그 선입니다. 어림짐작 대신 선 하나를 그으면 되는 문제로 바뀝니다.
4.G.A.3Draw A Diagram7STEP 7
종이로 네 테두리 모두 확인하기
종이로 접어 보면 꼭짓점이 4, 6, 5, 5개로 맞습니다.
그린 꼭짓점 수와 접은 종이에서 손끝에 걸리는 꼭짓점 수를 견주어 보면 이런 문제에서 나오는 실수는 거의 다 잡힙니다.
4.G.A.1Create A Physical Representation정답
4, 6, 5, 5 개 꼭짓점
접으면 종이가 가려질 뿐 새로 생기지는 않으므로 접은 모양의 넓이는 반드시 원래 직사각형보다 작아야 하는데, 그린 테두리들은 모두 직사각형보다 좁은 자리에 들어가 있습니다. 또 각 테두리는 접는 선 건너편에 남아 있던 부분을 통째로 품고 있어야 하는데 그 부분은 아예 움직이지 않았으니 당연합니다. 네 경우 가운데 셋에는 삐져나온 부분이 있고, 그것들은 모두 접는 선에서 가장 멀리 떨어져 있던 꼭짓점이 옮겨 간 것입니다. 가장 멀리 있던 꼭짓점이 변을 넘어갈 가능성이 제일 크니 앞뒤가 맞습니다. 첫째 그림에서는 움직이는 꼭짓점이 처음부터 접는 선 가까이에 있어 안쪽에 머무릅니다. 꼭짓점 수 4, 6, 5, 5도 실제로 접은 종이에서 세어 보는 수와 같습니다.
핵심 정리
접는 선은 거울이에요. 꼭짓점을 하나씩 건너편으로 옮겨 보고, 종이 밖으로 나가 버린 꼭짓점을 찾으면 그 자리가 바로 테두리에서 삐져나온 부분이랍니다.
- 보기에서 규칙 읽어 내기
- 꼭짓점 하나에 대한 거울 규칙 정하기
- 첫째 그림: 접힌 부분이 종이 안에 다 들어가는 경우
- 둘째 그림: 한 꼭짓점은 위쪽 변에 닿고 다른 하나는 오른쪽으로 삐져나오는 경우
- 셋째 그림: 대각선을 따라 접는 경우
- 넷째 그림: 힌트로 접는 선을 정하고 남은 꼭짓점 찾기
- 종이로 네 테두리 모두 확인하기
이어서 풀어볼까요