문제
180° 돌린 도형
직사각형 종이가 가로 4칸, 세로 2칸으로 나뉘어 있습니다. 여덟 칸 중 정확히 네 칸을 색칠합니다. 180도 돌렸을 때 색칠한 모양이 그대로여야 합니다. 그런 색칠 방법을 모두 구합니다.
사고력 · 초5-2 선대칭도형, 점대칭도형
내 답
조심 칸을 하나씩 고르고 싶지만 짝꿍과 함께여야 하므로 고르는 것은 쌍입니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 색칠을 하나씩 어림해 보는 것은 느린 데다 다 찾았는지 끝내 알 수 없습니다. 그래서 먼저 180° 돌리기가 각 칸을 어디로 보내는지부터 알아냅니다. 그러면 8칸이 짝꿍 네 쌍으로 다시 묶이고, 문제는 '네 쌍 가운데 어느 두 쌍을 색칠할까'라는 훨씬 작은 물음으로 바뀝니다. 그다음에는 두 쌍을 고르는 방법을 차례대로 짧게 적어 내려가기만 하면 빠뜨리는 것도 겹치는 것도 없이 모든 답이 나옵니다.
1STEP 1
칸에 이름을 붙이고 돌리는 중심을 찾기
칸에 이름을 붙이고 돌리는 중심을 찾습니다.
(칸) = (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4)
직사각형을 크기가 같은 칸으로 줄과 칸에 맞추어 나누는 것은 초등 저학년 때부터 해 온 일이고, 줄과 칸으로 자리를 부르는 것은 극장에서 좌석을 찾는 방법과 똑같습니다. 새로 배울 것이 하나도 없습니다.
2.G.A.2Draw A Diagram2STEP 2
반 바퀴 돌리면 각 칸이 어디로 가는지 보기
반 바퀴 돌리면 위 칸이 맞은편 아래 칸으로 갑니다.
(1,c) ⟶ (2, 5-c)
반 바퀴 돌리기는 손으로 직접 확인할 수 있는 유일한 회전입니다. 종이를 거꾸로 뒤집어 놓으면 왼쪽 위 칸이 아까 오른쪽 아래 칸이 있던 자리에 와 있습니다. 크기도 모양도 그대로이고 자리만 바뀝니다.
8.G.A.1Visualize Spatial Relationships3STEP 3
8칸을 짝꿍 네 쌍으로 다시 묶기
여덟 칸이 네 쌍으로 묶입니다.
가={(1,1),(2,4)}, 나={(1,2),(2,3)}, 다={(1,3),(2,2)}, 라={(1,4),(2,1)}
이것이 이 문제의 열쇠입니다. 따로 노는 8칸을 생각하기를 그만두고 네 쌍을 생각하는 것입니다. 정보를 다시 묶는 이 한 번의 손질이 여덟 칸짜리 수수께끼를 네 개짜리 수수께끼로 바꿔 놓습니다.
8.G.A.1Organize Information In More Ways여덟 칸을 네 쌍의 짝으로 다시 묶으면 여덟 칸짜리 문제가 네 개짜리 문제가 된다.
왜?
반 바퀴 돌리기는 각 칸을 정확히 다른 한 칸으로 옮기므로, 칸들은 홀로 남는 것 없이 짝을 이룬다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
짝짓기가 일대일이므로 한 칸을 칠하면 그 짝도 칠해져야 하고, 그 짝은 하나의 항목처럼 움직인다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
4STEP 4
색칠 조건을 쌍에 대한 조건으로 바꾸기
네 칸을 칠하려면 두 쌍을 골라야 합니다.
4 ÷ 2 = 2 (색칠할 쌍의 수), 전체 4 쌍
색칠한 4칸을 두 칸씩 묶는 것은 나눗셈 한 번이면 끝나는 일인데, 그 한 번으로 색칠 조건이 단순한 세기 문제로 바뀝니다.
8.G.A.1Organize Information In More Ways5STEP 5
네 쌍 중 두 쌍을 고르는 방법을 모두 적기
네 쌍에서 둘을 고르는 방법은 6가지입니다.
3 + 2 + 1 = 6
가나다라 순으로 적고 3 + 2 + 1로 세는 것은 여럿이 서로 한 번씩 악수하는 횟수를 셀 때 쓰는 그 방법입니다. 공식은 필요 없고 순서를 지키는 끈기만 있으면 됩니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List6STEP 6
여섯 가지를 그려 넣기
여섯 가지를 그려 보면 모두 돌려도 그대로입니다.
가나: (1,1),(1,2),(2,3),(2,4) 가다: (1,1),(1,3),(2,2),(2,4) 가라: (1,1),(1,4),(2,1),(2,4)
어느 쌍을 칠할지만 정해지면 그림 그리기는 색칠하는 일만 남습니다. 생각은 이미 다 끝났고, 여섯 장의 그림이 책이 준 여섯 개의 빈 직사각형을 정확히 채웁니다.
4.G.A.3Draw A Diagram정답
6 가지
3 + 2 + 1 = 6
여섯 장의 그림은 모두 8칸 가운데 4칸이 색칠되어 있으니 종이의 딱 절반이고, 문제가 시킨 그대로입니다. 여섯 장 어느 것이든 거꾸로 돌려 보면 같은 그림이 돌아옵니다. 색칠한 칸이 언제나 중심을 사이에 둔 짝으로 있기 때문입니다. 개수도 크기가 알맞습니다. 고를 쌍이 네 개뿐이니 답이 작은 수일 수밖에 없고, 6은 책에 인쇄된 빈 직사각형의 개수와 정확히 같아서 빠뜨린 것이 없다는 든든한 표시가 됩니다. 마지막으로 대칭 조건 없이 8칸 중 4칸을 색칠하는 방법은 70가지인데 그에 비하면 6은 훨씬 작습니다. 강한 조건이 하나 붙었으니 그만큼 줄어드는 것이 마땅합니다.
핵심 정리
반 바퀴 돌리기는 각 칸을 중심 건너편 칸과 하나로 붙여 버립니다. 그러니 칸을 세지 말고 쌍을 세세요. 그러면 '네 쌍 중 두 쌍 고르기'가 되어 6가지입니다.
- 칸에 이름을 붙이고 돌리는 중심을 찾기
- 반 바퀴 돌리면 각 칸이 어디로 가는지 보기
- 8칸을 짝꿍 네 쌍으로 다시 묶기
- 색칠 조건을 쌍에 대한 조건으로 바꾸기
- 네 쌍 중 두 쌍을 고르는 방법을 모두 적기
- 여섯 가지를 그려 넣기