문제
변하지 않는 겉넓이
쌓기나무 16개가 3×3 바닥에 1층 8개(앞 귀퉁이 한 칸 빔), 2층 7개, 맨 위 1개로 쌓여 있습니다. 빨강은 맨 위에 홀로 선 것, 노랑은 2층 한가운데, 파랑은 2층 뒤쪽 귀퉁이, 초록은 1층 앞줄 가운데로 빈 귀퉁이 옆이며 위가 비어 있습니다. 색칠한 것을 하나씩 뺄 때 겉넓이가 어떻게 달라지는지 구합니다.
사고력 · 초6-2 쌓기나무의 겉넓이
내 답
조심 빼면 겉넓이가 줄 것 같지만 안쪽 면이 드러나 늘어날 수도 있습니다.
풀이 과정
전략 관점 바꾸기 — 쌓기나무 16개짜리 입체의 겉넓이를 네 번이나 처음부터 다시 구하는 것은 더디고 틀리기도 쉽습니다. 그래서 보는 눈을 바꾸어, 쌓기나무 하나가 빠질 때 실제로 달라지는 것만 봅니다. 그 쌓기나무가 드러내고 있던 면은 사라지고, 그 쌓기나무가 덮고 있던 이웃의 면은 새로 드러납니다. 그러면 각 경우가 '이 쌓기나무의 여섯 면 가운데 이웃과 맞닿은 면이 몇 장인가'라는 작은 세기 하나로 줄어듭니다. 실제 쌓기나무로 만들어 보거나 층별로 머릿속에 그려 보면 이 개수는 금세 보이고, 네 쌓기나무를 표로 짧게 정리해 두면 헷갈리지 않습니다. 규칙을 한 번 세워 두면 네 물음은 겉넓이 계산 네 번이 아니라 이웃 세기 네 번이 됩니다.
1STEP 1
규칙 세우기: 맞닿은 면이 k장이면 변화는 2k - 6
맞닿은 면이 k장이면 변화는 2k 빼기 6입니다.
(변화) = (새로 드러난 면) - (사라진 면) = k - (6 - k) = 2k - 6
겉넓이의 1 cm² 하나하나는 어느 쌓기나무의 면입니다. 그러니 입체 전체를 다시 잴 것 없이, 움직이는 쌓기나무 한 개의 여섯 면만 따져 보면 됩니다. 면 한 장이 1 cm²이라 면을 세는 일과 넓이를 재는 일이 같습니다.
6.G.A.4Change Focus Count The Complement쌓기나무 하나를 빼면 겉넓이가 맞닿은 면의 두 배 빼기 6만큼 달라지므로, 맞닿은 면이 셋일 때만 그대로다.
왜?
맞닿은 각 면은 양쪽에서 동시에 가려져 있었으므로, 나무를 빼면 자기 면을 잃는 동시에 이웃의 면이 드러난다.
🧱두 번 세었으면 반으로모든 것을 양쪽 끝에서 한 번씩 세었다면 합계는 정확히 두 배이므로 반으로 나누면 바로잡힌다.
왜?
겉넓이는 드러난 면을 모두 합친 것이므로, 변화는 새로 드러난 것에서 사라진 것을 뺀 값이다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
2STEP 2
규칙 읽기: k = 3일 때만 겉넓이가 그대로
그래서 k가 3일 때만 겉넓이가 그대로입니다.
k = 1 → -4, k = 2 → -2, k = 3 → 0, k = 4 → +2, k = 5 → +4
여기서 음수는 '껍질이 작아졌다', 양수는 '커졌다'는 뜻이라 부호가 제 몫을 톡톡히 합니다. 값이 2씩 커지는 까닭도 분명합니다. 이웃이 하나 늘면 이 쌓기나무의 면 한 장이 더 가려지는 동시에 이웃의 면 한 장이 더 드러나기 때문입니다.
6.NS.C.5Look For A Pattern3STEP 3
(1) 빨간색: k = 1이므로 겉넓이가 4 cm² 줄어듭니다
빨간색은 k가 1이라 4만큼 줄어듭니다.
2 × 1 - 6 = -4
꼭대기에 혼자 올라앉은 쌓기나무는 이미 거의 다 바깥입니다. 그러니 치워도 새로 열리는 면보다 없어지는 껍질이 훨씬 많습니다. 외딴 탑의 겉넓이가 넓은 것과 같은 까닭이고, 이 쌓기나무가 입체에서 가장 헐겁게 놓여 있다는 뜻이기도 합니다.
7.G.B.6Visualize Spatial Relationships4STEP 4
(2) 파란색: k = 3이므로 겉넓이가 달라지지 않습니다
파란색은 k가 3이라 그대로입니다.
2 × 3 - 6 = 0
세 장이 나가고 세 장이 들어오니 맞바꾼 셈입니다. 이 문제가 진짜 말하고 싶은 것이 바로 이 경우입니다. 이웃이 딱 셋인 자리에 끼어 있는 쌓기나무는 빼내도 입체의 겉넓이가 처음과 똑같습니다. 쌓기나무는 하나 줄었는데도 말입니다.
7.G.B.6Visualize Spatial Relationships5STEP 5
(3) 노란색: k = 4이므로 겉넓이가 2 cm² 늘어납니다
노란색은 k가 4라 2만큼 늘어납니다.
2 × 4 - 6 = +2
깊이 파묻힌 쌓기나무는 겉으로 거의 드러나 있지 않습니다. 그래서 빼내면 네 벽이 온통 새 껍질인 구덩이가 생깁니다. 이웃이 많은 쌓기나무일수록 빠져나갈 때 겉넓이를 더 많이 늘립니다.
7.G.B.6Visualize Spatial Relationships6STEP 6
(4) 초록색: k = 2이므로 겉넓이가 2 cm² 줄어듭니다
초록색은 k가 2라 2만큼 줄어듭니다.
2 × 2 - 6 = -2
그림에 숨어 있는 함정이 여기입니다. 초록색은 1층에 있어 파묻힌 듯 보이지만 위가 트여 있고 이웃 한 자리도 비어 있어 실은 절반쯤만 붙어 있습니다. 그리고 1층 쌓기나무의 아랫면도 겉면이라는 것을 기억해야 -1이 아니라 -2가 나옵니다.
7.G.B.6Visualize Spatial Relationships7STEP 7
네 경우를 한 표로 모으기
네 경우를 모으면 −4, 0, +2, −2입니다.
빨강 k=1 → -4, 파랑 k=3 → 0, 노랑 k=4 → +2, 초록 k=2 → -2
네 쌓기나무를 한 표에 늘어놓으면 이 문제의 뼈대가 한눈에 보입니다. 답은 입체가 쌓기나무 16개짜리라는 사실과는 아무 상관이 없었고, 오직 색칠한 쌓기나무가 얼마나 단단히 끼어 있었는지에만 달려 있었습니다.
5.MD.C.4Make A Systematic List정답
−4, 0, +2, −2 cm²
2 × 3 − 6 = 0
단위가 알맞습니다. 면 한 장이 1 cm²이므로 변화량은 모두 cm² 단위의 자연수여야 하는데 네 답이 다 그렇습니다. 크기도 알맞습니다. 쌓기나무 하나를 빼서 생길 수 있는 가장 큰 변화는 어느 쪽으로든 6 cm²인데, 이웃이 하나도 없는 경우(k = 0)와 여섯 면이 모두 파묻힌 경우(k = 6)입니다. 네 경우 모두 그렇게 극단적이지 않으니 -4부터 +2 사이의 답은 범위 안에 잘 들어옵니다. 부호도 짐작과 맞습니다. 빨간색은 이 입체에서 가장 훤히 드러난 쌓기나무라 빼면 껍질이 가장 많이 줄고, 노란색은 넷 중 가장 파묻혀 있어 유일하게 껍질이 늘어납니다. 마지막으로 통째로 확인해 보면, 처음 입체의 겉넓이는 44 cm²입니다. 빨간색을 빼면 40, 파란색을 빼면 44, 노란색을 빼면 46, 초록색을 빼면 42가 되어 차이가 각각 -4, 0, +2, -2로 앞의 답과 그대로 맞아떨어집니다.
핵심 정리
쌓기나무의 이웃이 몇 개인지 세어 보세요. 이웃이 셋이면 빼내도 겉넓이가 조금도 달라지지 않아요.
- 규칙 세우기: 맞닿은 면이 k장이면 변화는 2k - 6
- 규칙 읽기: k = 3일 때만 겉넓이가 그대로
- (1) 빨간색: k = 1이므로 겉넓이가 4 cm² 줄어듭니다
- (2) 파란색: k = 3이므로 겉넓이가 달라지지 않습니다
- (3) 노란색: k = 4이므로 겉넓이가 2 cm² 늘어납니다
- (4) 초록색: k = 2이므로 겉넓이가 2 cm² 줄어듭니다
- 네 경우를 한 표로 모으기