문제
수 카드로 분수 만들기
수 카드 1, 3, 4, 5 네 장이 있습니다. 네 장을 한 번씩 모두 써서 진분수 두 개를 만듭니다. 만든 두 분수를 더합니다. 합이 가장 클 때와 가장 작을 때의 값을 구합니다.
사고력 · 초5-1 분수의 계산
내 답
조심 가장 큰 수를 분자에 놓고 싶지만 5는 진분수가 될 수 없어 분모로 가야 합니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 카드가 네 장뿐이니 규칙에 맞는 배치를 남김없이 적어 볼 수 있고, 그러면 가장 큰 값과 가장 작은 값을 확실히 말할 수 있습니다. 먼저 확실한 사실 하나로 후보를 크게 줄입니다. 5는 가장 큰 카드라서 진분수의 분자가 될 수 없습니다. 그러면 5는 분모 자리에 못 박히고, 그 위에 어떤 카드가 오느냐에 따라 경우는 셋뿐입니다. 그 셋을 각각 더해서 비교하면 끝납니다.
1STEP 1
5가 갈 자리를 못 박기
진분수여야 하므로 5는 분모입니다.
5/1, 5/3, 5/4 are all improper → 5 is a denominator
"위가 아래보다 작은가?" 한 번만 따져도 덧셈을 시작하기 전에 배치 대부분이 날아갑니다. 이보다 빠른 진전은 없습니다.
4.NF.A.2Eliminate Possibilities카드 5가 앉을 수 있는 자리는 하나뿐이며, 그 덕에 전체 탐색이 세 경우로 줄어든다.
왜?
분모는 전체를 똑같이 몇 조각으로 자르는지를 말하므로, 남은 각 카드의 값어치를 좌우한다.
🧱분수는 하나를 똑같이 나눈 몫아래 수는 하나를 똑같이 몇 조각으로 잘랐는지를, 위 수는 그중 몇 조각인지를 말한다 — 그래서 같은 크기 조각은 세기만 하면 더해진다.
왜?
5가 놓일 다른 모든 자리가 곧바로 지워지므로, 탐색은 모든 배열이 아니라 세 경우에서 시작된다.
🧱나머지를 지우면 남은 하나가 정해진다하나만 남기고 모든 가능성이 지워졌다면 남은 것이 답일 수밖에 없다 — 더 확인할 필요가 없다.
2STEP 2
경우를 셋으로 가르기
남는 경우는 세 가지뿐입니다.
1/5 + 3/4, 3/5 + 1/4, 4/5 + 1/3
"5 위에 무엇이 오는가"를 기준으로 정리하면 세 경우가 겹치지도 않고 빠지지도 않습니다. 아무렇게나 배치를 떠올리는 것보다 훨씬 안전합니다.
4.NF.A.2Make A Systematic List3STEP 3
첫째 경우 더하기
1/5 + 3/4 = 19/20입니다.
1/5 + 3/4 = 4/20 + 15/20 = 19/20
분모를 같게 고쳐 쓰는 것은 5학년의 기본기입니다. 조각의 크기가 같아지고 나면 개수만 세면 됩니다.
5.NF.A.1Make A Systematic List4STEP 4
둘째 경우 더하기
3/5 + 1/4 = 17/20입니다.
3/5 + 1/4 = 12/20 + 5/20 = 17/20
첫째 경우와 분모가 같으니 두 결과를 바로 견줄 수 있습니다. 1/20짜리 조각으로 17개와 19개의 대결입니다.
5.NF.A.1Make A Systematic List5STEP 5
셋째 경우 더하기
4/5 + 1/3 = 1과 2/15입니다.
4/5 + 1/3 = 12/15 + 5/15 = 17/15 = 1 2/15
진분수 둘을 더해도 1을 넘을 수 있습니다. 각각은 1보다 작으니 합은 2보다 작지만, 1을 넘지 말라는 법은 없습니다.
5.NF.A.1Make A Systematic List6STEP 6
세 합을 비교하기
가장 큰 것은 1과 2/15, 가장 작은 것은 17/20입니다.
17/20 ＜ 19/20 ＜ 1 ＜ 1 2/15
1이라는 기준 하나로 셋째 경우는 통분 없이 정리되고, 나머지 둘은 이미 같은 분모로 놓여 있습니다.
4.NF.A.2Guess And Check7STEP 7
왜 그 배치가 이기는지 되짚기
소수로 고쳐 보아도 순서가 같습니다.
4/5 = 0.8, 1/3 ≈ 0.33, 3/5 = 0.6, 1/4 = 0.25
분자와 분모가 가까울수록 분수는 커지고, 분자가 분모보다 한참 작을수록 작아집니다. 피자 조각을 떠올릴 때 드는 그 느낌과 같습니다.
4.NF.A.2Guess And Check정답
1 2/15, 17/20
4/5 + 1/3 = 17/15, 3/5 + 1/4 = 17/20
두 분수 모두 진분수이므로 각각 1보다 작고, 따라서 합은 반드시 0과 2 사이에 있어야 합니다. 17/20 = 0.85과 1 2/15 ≈ 1.13 모두 그 안에 들어옵니다. 세 경우가 정말 전부인지도 확인됩니다. 5는 분모여야 하고, 그 분자는 1, 3, 4 중 하나뿐이며, 남은 두 장은 진분수가 되도록 놓는 방법이 한 가지뿐이므로 3가지가 빠짐없는 전부입니다. 소수로 어림해도 순서가 그대로입니다. 0.2 + 0.75 = 0.95, 0.6 + 0.25 = 0.85, 0.8 + 0.333… ≈ 1.13.
핵심 정리
가장 큰 카드는 분모 뒤에 숨을 수밖에 없어요. 그 사실 하나로 문제 전체가 더해서 비교만 하면 되는 세 개의 식으로 줄어듭니다.
- 5가 갈 자리를 못 박기
- 경우를 셋으로 가르기
- 첫째 경우 더하기
- 둘째 경우 더하기
- 셋째 경우 더하기
- 세 합을 비교하기
- 왜 그 배치가 이기는지 되짚기