문제
선대칭도형과 점대칭도형
합동인 정삼각형 8개를 변끼리 이어 붙였습니다. 여섯 개는 뒤집힌 것과 바로 선 것이 번갈아 평행사변형 띠를 이루고, 나머지 두 개는 띠의 윗변을 삼등분한 가운데와 오른쪽 부분 위에 바로 선 채로 얹혀 있습니다. 이미 그어진 선을 따라 도형을 찾되 돌리거나 뒤집어 겹치는 것은 한 가지로 셉니다. 접었을 때 완전히 겹치는 도형만 셉니다. 선대칭인 도형이 몇 가지인지 구합니다.
사고력 · 초5-2 선대칭도형, 점대칭도형
내 답
조심 세로 대칭축만 찾기 쉽지만 비스듬한 대칭축도 있습니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 선대칭도형을 아무렇게나 찾아다니면 어떤 것은 빠뜨리고 어떤 것은 두 번 그리게 됩니다. 두 가지 기준으로 정리하면 그 일이 없습니다. 먼저 대칭축의 방향으로 나눕니다. 세로, 가로, 비스듬한 방향뿐이니 이 격자에서 대칭축이 가질 수 있는 방향은 그 셋이 전부입니다. 그다음 세로 대칭축인 경우 안에서는 쓰인 작은 정삼각형의 개수로 다시 나눕니다. 가장 쉬운 한 개짜리부터 시작해 하나씩 늘려 갑니다. 이렇게 하면 찾아낸 도형마다 이 이중 목록에서 자기 자리가 정해지므로 숨을 곳이 없습니다.
1STEP 1
여덟 개의 삼각형에 이름 붙이기
여덟 삼각형에 이름을 붙입니다.
똑같은 작은 삼각형을 모아 큰 도형을 만드는 일은 칠교나 패턴 블록으로 늘 하던 놀이입니다. 조각에 먼저 이름을 붙이면 그림이 말로 이야기하고 목록으로 적을 수 있는 것이 됩니다.
1.G.A.2Draw A Diagram2STEP 2
대칭축이 가질 수 있는 방향 정하기
대칭축은 세로, 가로, 비스듬 세 방향뿐입니다.
접는 선은 그어진 변을 그어진 변 위로 접어 주어야 합니다. 그렇지 않으면 접힌 그림에는 선이 있는데 원래 그림에는 없는 자리가 생겨 두 쪽이 겹칠 수 없습니다.
4.G.A.3Organize Information In More Ways거울선이 놓일 수 있는 방향은 몇 가지뿐이므로, 탐색이 그만큼의 서로 다른 경우로 갈린다.
왜?
거울선은 도형 전체를 자기 자신으로 보내야 하므로, 도형이 이미 지닌 방향을 따라 놓여야 한다.
🧱접은 선은 거울선이다접기는 한 점을 내려앉는 자리에 포개므로, 접힌 선은 두 점에서 같은 거리에 있고 둘을 이은 선분과 직각으로 만난다.
왜?
대칭인 각 도형의 거울 방향은 하나로 정해지므로, 경우들이 겹치지 않고 개수를 그냥 더하면 된다.
🧱겹치지 않는 경우는 더한다어느 경우도 겹치지 않고 빠지지도 않게 나누면 각 경우의 개수를 그냥 더하면 된다.
3STEP 3
경우 1, 세로 대칭축 — 가장 작은 것부터
세로 대칭축으로 작은 것부터 3가지가 나옵니다.
1개, 2개, 3개 → 여기까지 3가지
한 개짜리부터 시작하면 문제에 발을 들이기가 쉽고, 뒤에 나오는 도형은 모두 이것들에 삼각형을 더 붙인 것입니다. 그러니 작은 경우가 무엇을 눈여겨봐야 하는지를 가르쳐 줍니다.
4.G.A.3Solve An Easier Related Problem4STEP 4
경우 1 이어서 — 4개, 5개, 6개, 7개짜리
더 큰 것까지 세면 5가지가 더 나옵니다.
4, 5, 5, 6, 7개 → 5가지 더
대칭축을 어느 세로선이라고 못 박고 나면 확인은 쉽습니다. 그 선 왼쪽의 삼각형들이 오른쪽 삼각형들을 그대로 비춘 것인지만 보면 되는데, 그것은 한눈에 들어옵니다.
4.G.A.3Make A Systematic List5STEP 5
경우 1의 합계, 그리고 8개가 안 되는 까닭
세로 대칭축은 모두 8가지입니다.
1+1+1+1+2+1+1 = 8
짧은 목록의 개수를 더하는 것은 어렵지 않은 계산입니다. 값진 것은 그 목록을 크기순으로 쌓아 올렸다는 점이고, 그래서 합계를 믿을 수 있습니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List6STEP 6
경우 2, 가로 대칭축
가로 대칭축으로는 새 도형이 없습니다.
(가로 대칭축에서 나오는 새 도형) = 0
두 도형이 '같다'고 말하려면 돌리거나 뒤집어서 하나를 다른 하나에 포갤 수 있는지 확인하면 됩니다. 여기서 나온 마름모는 아까 그 마름모를 접는 선만 달리해서 다시 본 것입니다.
8.G.A.2Organize Information In More Ways7STEP 7
경우 3, 비스듬한 대칭축
비스듬한 대칭축으로 1가지가 더 나옵니다.
(비스듬한 대칭축에서 나오는 새 도형) = 1
학교 그림은 대개 똑바로 서 있어서 비스듬한 대칭축은 잊기 쉽습니다. 그러나 삼각형 격자에서는 비스듬한 방향도 똑바로 선 방향만큼이나 자연스러우니 반드시 함께 확인해야 합니다.
4.G.A.3Make A Systematic List8STEP 8
세 경우를 합하기
모두 더하면 9가지입니다.
8 + 0 + 1 = 9
대칭축이 가질 수 있는 모든 방향이 세 경우 중 정확히 하나에만 들어가도록 나누어 두었으므로, 세 답을 그냥 더해도 안전합니다. 두 번 센 도형도, 빠뜨린 도형도 없습니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List정답
9 가지
8 + 0 + 1 = 9
답은 1보다 크고 삼각형을 아무렇게나 고르는 경우의 수보다는 훨씬 작은 자연수여야 하는데, 9는 그 자리에 알맞게 들어갑니다. 목록에 적은 도형은 모두 8개 중 1개에서 7개까지를 쓰고 있어 이치에 맞습니다. 8개를 다 쓴 전체 모양은 선대칭이 아니기 때문입니다. 아홉 가지를 크기순으로 늘어놓으면 삼각형 1, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7개짜리가 되므로, 개수가 같은 두 짝을 빼면 서로 헷갈릴 일이 없습니다. 그 두 짝도 실제로 모양이 다릅니다. 큰 정삼각형과 비스듬한 대칭축을 가진 도형은 다르고, 긴 사다리꼴과 두 봉우리 도형도 다릅니다. 반대쪽에서도 확인해 봅니다. 선대칭도형이라면 대칭축이 세로이거나 가로이거나 비스듬해야 하는데 그 세 경우를 모두 살폈으므로 목록에 빠진 것이 없습니다.
핵심 정리
접는 선이 어디로 갈 수 있는지부터 나누세요. 세로인지, 가로인지, 비스듬한지입니다. 그다음에 크기순으로 세어 올라가면 됩니다. 모두가 잊는 것이 비스듬한 접는 선이고, 그것이 바로 아홉 번째 답입니다.
- 여덟 개의 삼각형에 이름 붙이기
- 대칭축이 가질 수 있는 방향 정하기
- 경우 1, 세로 대칭축 — 가장 작은 것부터
- 경우 1 이어서 — 4개, 5개, 6개, 7개짜리
- 경우 1의 합계, 그리고 8개가 안 되는 까닭
- 경우 2, 가로 대칭축
- 경우 3, 비스듬한 대칭축
- 세 경우를 합하기
이어서 풀어볼까요