문제
색칠된 쌓기나무의 개수
쌓기나무를 계단 모양으로 쌓아 만든 입체가 있습니다. 공기에 닿는 면은 모두 칠하고 바닥에 닿는 면은 칠하지 않습니다. 쌓기나무는 모두 37개입니다. 세 면이 칠해진 쌓기나무가 몇 개인지 구합니다.
사고력 · 초6-1 입체도형의 겉넓이와 부피
내 답
조심 겉에 보이는 면을 다 세기 쉽지만 바닥에 닿는 면은 칠하지 않습니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 비스듬히 그린 그림만 보고 칠해진 면을 세는 것은 가망이 없습니다. 앞쪽 쌓기나무에 가려 입체의 대부분이 보이지 않기 때문입니다. 그래서 그림을 위에서 내려다본 그림으로 다시 정리하고, 바닥 12칸마다 그 자리에 쌓인 높이를 적어 넣습니다. 입체가 4 × 3짜리 높이 표로 바뀌고 나면, 쌓기나무 하나에 대한 물음(‘왼쪽 면은 칠해질까?’)이 모두 두 수를 견주는 일로 바뀝니다. 그러면 정해진 차례대로 훑어 나가면서 빠뜨리지도 겹치지도 않게 셀 수 있습니다. 마지막에는 실제로 쌓기나무를 쌓아 놓고 목록이 맞는지 확인합니다.
1STEP 1
입체를 높이 표로 다시 그리기
입체를 높이 표로 다시 그립니다.
16 + 13 + 8 = 37
쌓기나무로 부피를 세는 것과 똑같은 발상입니다. 쌓아 놓은 모양은 칸마다의 높이만 알면 완전히 정해지고, 절반이 가려진 그림보다는 12개의 수가 적힌 4 × 3 표가 훨씬 다루기 쉽습니다.
5.MD.C.4Organize Information In More Ways2STEP 2
쌓기나무의 여섯 면 가운데 칠해질 수 있는 면 가려내기
칠해지는 면은 이웃이 없는 면뿐입니다.
(칠해진 면의 수) = #{위, 왼쪽, 오른쪽, 앞, 뒤 가운데 이웃이 없는 방향}
칠은 입체의 바깥에만 닿으므로 ‘이 면은 칠해질까?’라는 물음은 사실 ‘이 면은 겉면인가?’라는 물음입니다. 공중에 뜬 쌓기나무가 없으니 아래쪽 방향은 모든 쌓기나무에 대해 한꺼번에 정해지고, 살펴볼 방향은 다섯 개만 남습니다.
7.G.B.6Visualize Spatial Relationships3STEP 3
‘이웃이 있는가’를 두 높이의 비교로 바꾸기
이웃이 있는지는 두 높이를 견주어 압니다.
(윗면 칠해짐) ⇔ z = h, (옆면 칠해짐) ⇔ (이웃 칸의 높이) ＜ z
자연수 두 개를 견주는 일은 어린 학생도 곧바로 해냅니다. 이 단계는 머릿속으로 입체를 돌려 보는 일을 통째로 그 비교로 바꿔치기합니다.
5.MD.C.4Organize Information In More Ways옆면이 칠해졌는지를 묻는 일이 두 기둥 높이를 견주는 일이 되어, 머릿속으로 그려 볼 필요가 전혀 없다.
왜?
어떤 쌓기나무의 옆면이 가려진다는 것은 이웃 기둥이 그 나무가 놓인 높이만큼은 올라와 있다는 뜻이다.
🧱순서의 추이성첫째가 둘째보다 작고 둘째가 셋째보다 작으면 첫째는 셋째보다 작다 — 둘씩 비교한 것이 하나의 순서로 이어진다.
왜?
각 쌓기나무는 방향마다 이웃이 하나씩 정해져 있으므로, 비교 한 번이 면 하나를 정하고 어떤 면도 두 번 판정되지 않는다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
4STEP 4
탐색을 둘로 나누기: 맨 위 쌓기나무와 그렇지 않은 쌓기나무
맨 위 쌓기나무는 옆이 둘 열려야 합니다.
(맨 위) : 1 + (열린 옆면 수) = 3 → 2개; (위가 덮인 것) : 0 + (열린 옆면 수) = 3 → 3개
두 경우로 나누면 다섯 방향을 한꺼번에 머리에 담을 필요가 없어집니다. ‘옆이 몇 군데 열렸나’만 세어 목표인 2나 3과 견주기만 하면 됩니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List5STEP 5
맨 위 쌓기나무 12개를 하나씩 확인하기
그런 맨 위 쌓기나무는 6개입니다.
칠해진 면이 정확히 세 개인 맨 위 쌓기나무: 뒤1, 뒤2, 뒤3, 뒤4, 중2, 앞2 → 6개
칸이 12개, 칸마다 맨 위 쌓기나무가 하나, 쌓기나무마다 견줄 수가 넷입니다. 초등학생도 끝까지 적어 낼 수 있는 목록이고, 끝까지 적는 그 일이 바로 하나 빠뜨리는 실수를 막아 줍니다.
7.G.B.6Make A Systematic List6STEP 6
위가 덮인 쌓기나무 가운데 옆 세 방향이 열린 것 찾기
위가 덮인 것 중 옆이 셋 열린 것은 1개입니다.
칠해진 면이 정확히 세 개이면서 위가 덮인 쌓기나무: 중4의 3층 → 1개
가장 놓치기 쉬운 쌓기나무가 바로 이것입니다. 위가 덮여 있어서 눈에 띄지 않기 때문입니다. 윗면이 칠해지지 않고도 옆 세 면이 칠해질 수 있다는 것을 기억해야 비로소 보입니다. 이 쌓기나무는 계단이 파인 안쪽에 있고, 그림에서도 옆면 두 개가 한꺼번에 보입니다.
7.G.B.6Visualize Spatial Relationships7STEP 7
두 무리를 더하기
더하면 7개입니다.
6 + 1 = 7
두 경우를 서로 겹치지 않도록 나누어 놓았기 때문에, 각각 센 수를 그냥 더하기만 하면 됩니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List정답
7 개
6 + 1 = 7
답은 0과 37 사이의 자연수여야 하는데 7은 그 안에 넉넉히 들어갑니다. 더 든든한 확인은 37개를 칠해진 면의 수별로 모두 나누어 보는 것입니다. 같은 방식으로 훑으면 칠해진 면이 0개인 것이 3개(왼쪽 뒤 높은 덩어리 속에 파묻힌 것들), 1개인 것이 11개, 2개인 것이 12개, 3개인 것이 7개, 4개인 것이 4개이고 3 + 11 + 12 + 7 + 4 = 37로 모든 쌓기나무가 꼭 한 번씩 셈에 들어갑니다. 이 수들은 또 다른 시험도 통과합니다. 칠해진 면의 총수는 0 × 3 + 1 × 11 + 2 × 12 + 3 × 7 + 4 × 4 = 72입니다. 같은 칠을 전혀 다른 방법으로 세어 보면, 이 입체의 겉면은 한 변이 1인 정사각형 84장이고 그중 12장이 바닥에 놓여 있으므로 84 - 12 = 72장이 칠해집니다. 두 개의 72가 맞아떨어지니 면을 세는 장부가 옳습니다. 마지막으로 칠해진 면이 4개인 쌓기나무는 계단의 튀어나온 자리에 앉아 있어야 하는데 그런 자리가 정확히 네 곳(중1, 중4, 앞1, 앞4의 맨 위)이라는 것도 들어맞습니다.
핵심 정리
위에서 내려다본 표에 칸마다 높이를 적어 두면, ‘이 면은 칠해질까?’라는 물음이 ‘옆 칸이 나보다 낮은가?’라는 물음으로 바뀝니다.
- 입체를 높이 표로 다시 그리기
- 쌓기나무의 여섯 면 가운데 칠해질 수 있는 면 가려내기
- ‘이웃이 있는가’를 두 높이의 비교로 바꾸기
- 탐색을 둘로 나누기: 맨 위 쌓기나무와 그렇지 않은 쌓기나무
- 맨 위 쌓기나무 12개를 하나씩 확인하기
- 위가 덮인 쌓기나무 가운데 옆 세 방향이 열린 것 찾기
- 두 무리를 더하기