문제
소수의 계산
소수가 들어간 식 다섯 개는 8.88×1.25, 9.1+9.2+…+10.9, 1994+199.4+19.94+1.994, 1990×198.9-1989×198.8, 5.5×6.6+6.6×7.7+7.7×8.8+8.8×9.9입니다. 왼쪽부터 세로셈을 하면 오래 걸리고 틀리기 쉽습니다. 다섯 식의 값을 각각 구합니다.
사고력 · 초6-2 분수와 소수의 혼합 계산
내 답
조심 공통인수가 없어 보이지만 소수점을 옮기면 같은 수가 드러납니다.
풀이 과정
전략 다르게 정리하기 — 다섯 식은 모두 계산 문제의 옷을 입은 자리 바꾸기 문제입니다. 빠진 것도 없고 감춰진 것도 없습니다. 계산을 시작하기 전에 수를 쪼개거나 묶거나 줄을 다시 세우기만 하면 되는데, 그것이 바로 다르게 정리하기입니다. 어떤 방식으로 다시 묶을지는 패턴 찾기가 알려 줍니다. (3)에서는 되풀이되는 숫자가, (5)에서는 되풀이되는 인수 1.1이, (4)에서는 거의 같은 두 곱이 신호입니다. 그리고 다섯 식은 서로 아무 상관이 없으니 각각을 따로 떼어 하나씩 끝내고 다음으로 넘어갑니다.
1STEP 1
계산하기 전에 무엇을 찾을지 정해 두기
계산하기 전에 숨은 짜임을 찾기로 합니다.
자릿값대로 쪼개기 또는 자연수 부분 + 소수 부분 또는 공통인수 빼내기
셋 다 분배법칙을 이쪽으로 읽거나 저쪽으로 읽은 것일 뿐입니다. 7 × 12를 7 × 10 + 7 × 2로 나눠 계산하던 그 생각과 같습니다.
3.OA.B.5Organize Information In More Ways2STEP 2
(1) 8 × 1.25 = 10이므로 8.88을 자릿값대로 쪼개기
(1)은 자릿값대로 쪼개 11.1입니다.
8.88 × 1.25 = (8 + 0.8 + 0.08) × 1.25 = 10 + 1 + 0.1 = 11.1
8 × 1.25 = 10 하나만 알면 나머지 두 조각은 그 답을 한 자리, 두 자리 오른쪽으로 옮긴 것입니다. 새로 곱할 것이 하나도 없습니다.
5.NBT.B.7Organize Information In More Ways3STEP 3
(2) 항의 개수를 세고 자연수 부분과 소수 부분을 따로 더하기
(2)는 자연수와 소수를 따로 더해 190입니다.
(9 × 9) + (10 × 10) + (0.1 + 0.2 + … + 0.9) × 2 = 81 + 100 + 9 = 190
소수 덧셈을 열아홉 번 이어 하면 어디선가 미끄러지기 쉽지만, 9가 아홉 개, 10이 열 개, 4.5가 두 개라면 외울 것이 셋뿐입니다. 0.1부터 0.9까지도 0.1+0.9, 0.2+0.8, 0.3+0.7, 0.4+0.6으로 짝지으면 1이 넷에 0.5가 남아 금방 나옵니다.
5.NBT.B.7Organize Information In More Ways4STEP 4
(3) 되풀이되는 숫자를 보고 1994를 앞으로 빼내기
(3)은 되풀이되는 수를 빼내 한 번만 곱합니다.
1994 + 199.4 + 19.94 + 1.994 = 1994 × (1 + 0.1 + 0.01 + 0.001) = 1994 × 1.111
소수점을 한 자리 왼쪽으로 옮기는 것은 10으로 나누는 것과 같습니다. 그러니 같은 네 숫자가 네 번 되풀이된다는 것은 한 수에 1, 0.1, 0.01, 0.001을 곱해 놓았다는 신호입니다.
5.NBT.A.2Look For A Pattern5STEP 5
(3) 자연수 곱셈 한 번과 소수점 옮기기로 마무리하기
그래서 (3)은 2215.334입니다.
1994 × 1111 = 1994000 + 199400 + 19940 + 1994 = 2215334, 이므로 1994 × 1.111 = 2215.334
천분의 자리까지 있는 곱셈을 자연수 곱셈 하나와 소수점 옮기기로 바꾸면, 세로셈의 모든 자리가 자연수로 맞춰집니다. 그러면 실수가 나더라도 눈에 잘 띕니다.
6.NS.B.3Identify Subproblems6STEP 6
(4) 198.9를 고쳐 써서 두 곱이 같은 인수를 갖게 하기
(4)는 두 곱이 인수를 함께 갖게 고쳐 397.8입니다.
1990 × 198.9 - 1989 × 198.8 = (1990-1989) × 198.8 + 1990 × 0.1 = 198.8 + 199 = 397.8
두 곱 모두 396000 근처이니 답은 거대한 두 수의 작은 차입니다. 0.1을 떼어 내면 여섯 자리 뺄셈이 한 단계짜리 계산 두 개로 바뀝니다.
3.OA.B.5Organize Information In More Ways7STEP 7
(5) 모든 수 속에 있는 공통인수 1.1 찾아내기
(5)는 공통인수를 빼내 242입니다.
1.21 × (5 × 6 + 6 × 7 + 7 × 8 + 8 × 9) = 1.21 × 200 = 242
5.5나 8.8처럼 숫자가 되풀이된 소수는 언제나 '1.1이 몇 묶음'이라는 뜻입니다. 1.21이 괄호 밖으로 나오고 나면 남는 계산은 구구단 네 개와 쉬운 덧셈 하나뿐입니다.
5.NBT.B.7Look For A Pattern모든 수에 숨어 있는 1.1을 알아보면 그것을 식 전체 앞으로 뽑아낼 수 있다.
왜?
이것의 몇 배와 저것의 몇 배는 둘을 합친 것의 그 몇 배이므로, 공통인수가 합 전체에서 한꺼번에 들려 나온다.
🧱분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
왜?
각 항의 인수는 어떤 순서로든 적을 수 있으므로, 공통된 것을 언제나 눈에 잘 띄는 앞으로 옮길 수 있다.
🧱곱셈의 교환법칙a줄 b개와 b줄 a개는 같은 점 배열을 센다 — 가로세로만 바뀐다.
정답
11.1, 190, 2215.334, 397.8, 242
1.21 × 200 = 242
답이 모두 어림한 자리에 놓여 있습니다. (1)은 8.88이 9에 조금 못 미치고 9 × 1.25 = 11.25이니 11.1은 그 바로 아래입니다. (2)는 열아홉 개의 항이 10.0을 가운데 두고 고르게 퍼져 있으니 합이 19 × 10 = 190쯤이어야 하는데, 목록이 10.0을 중심으로 정확히 대칭이라 이 어림이 곧 정답이 되어 190을 다시 확인해 줍니다. (3)은 1994 + 199 + 20 + 2 = 2215보다 조금 커야 하는데 2215.334가 그렇습니다. (4)는 두 곱이 모두 396000 근처이니 차가 작아야 하고, 397.8이 작을 뿐 아니라 풀이대로 1990 × 0.1 = 199에 198.8 하나를 더한 값과 같습니다. (5)는 네 곱이 각각 36, 51, 68, 87 언저리라 합이 대략 242이고, 실제로 딱 맞습니다.
핵심 정리
소수 식이 지저분해 보이면 계산부터 하지 말고 먼저 읽어 보세요. 대개는 다시 묶는 한 수가 일을 거의 다 해 주도록 짜여 있습니다.
- 계산하기 전에 무엇을 찾을지 정해 두기
- (1) 8 × 1.25 = 10이므로 8.88을 자릿값대로 쪼개기
- (2) 항의 개수를 세고 자연수 부분과 소수 부분을 따로 더하기
- (3) 되풀이되는 숫자를 보고 1994를 앞으로 빼내기
- (3) 자연수 곱셈 한 번과 소수점 옮기기로 마무리하기
- (4) 198.9를 고쳐 써서 두 곱이 같은 인수를 갖게 하기
- (5) 모든 수 속에 있는 공통인수 1.1 찾아내기
이어서 풀어볼까요