문제
간단히 계산하기(3)
2020 × 20212021 − 2021 × 20202020의 값을 구합니다. 여덟 자리 수는 네 자리 덩어리를 두 번 쓴 모양입니다. 손으로 곱하면 오래 걸리고 틀리기 쉽습니다. 식의 값을 구합니다.
사고력 · 초6-2 분수의 혼합 계산
내 답
조심 두 곱이 달라 보이지만 쪼개 보면 순서만 다른 같은 곱입니다.
풀이 과정
전략 더 쉬운 문제로 줄이기 — 여덟 자리 수는 눈에 잘 들어오지 않으니, 모양은 같으면서 가장 작은 수부터 시작합니다. 2424처럼 두 자리 덩어리를 두 번 이어 쓴 수입니다. 이 작은 경우를 자릿값으로 뜯어 보면 되풀이 덩어리에서 빠져나오는 인수가 어디에서 오는지, 왜 그것이 1과 0으로만 이루어진 수인지가 그대로 드러납니다. 그리고 그 이유는 네 자리 덩어리로 옮겨 갈 때 아무것도 새로 배울 필요 없이 그대로 통합니다. 그다음 여덟 자리 수 둘을 곱의 모양으로 고쳐 쓰면, 빼기 기호 양쪽에 똑같은 세 인수가 놓인다는 규칙이 보이고 그것으로 문제가 끝납니다. 2021 × 2보다 큰 곱셈은 한 번도 하지 않습니다.
1STEP 1
두 자리 덩어리로 먼저 해 보기: 2424는 사실 무엇인가
2424가 24 × 101임을 먼저 봅니다.
2424 = 24 × 100 + 24 × 1 = 24 × (100+1) = 24 × 101
덩어리를 두 번 이어 쓰는 것은 사본을 하나 만들어 다른 하나를 지나 왼쪽으로 밀어 놓는 것과 같습니다. 우리 자릿값 체계에서 수를 왼쪽으로 미는 것은 10의 거듭제곱을 곱하는 일이고요. 되풀이 인수가 언제나 1, 0 몇 개, 1의 모양인 이유가 바로 이것입니다.
5.NBT.A.1Solve An Easier Related Problem2424 같은 수는 사실 24라는 덩이에 101을 곱한 것인데, 그 덩이가 두 자리에 동시에 놓여 있기 때문이다.
왜?
덩이를 왼쪽으로 두 자리 밀면 백 배가 되므로, 두 복사본은 그것의 백 배와 한 배의 값어치를 가진다.
🧱자리값 묶기1이 열이면 10 하나, 10이 열이면 100 하나 — 각 자리는 아래 자리 열 개를 묶은 것이다.
왜?
그것의 백 배와 한 배는 하나의 곱셈으로 모을 수 있는데, 공통인수가 합에서 들려 나오기 때문이다.
🧱분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
2STEP 2
덩어리를 두 칸이 아니라 네 칸 밀기
네 칸 밀면 여덟 자리 수는 네 자리 수 × 10001입니다.
20212021 = 2021 × 10000 + 2021 = 2021 × 10001, 20202020 = 2020 × 10001
규칙은 눈금만 돌리면 되는 하나의 규칙입니다. 두 자리 덩어리를 되풀이하면 × 101, 세 자리면 × 1001, 네 자리면 × 10001입니다. 가운데 0의 개수는 사본이 밀려 간 칸수일 뿐이니, 자릿수만 세어도 바로 적을 수 있습니다.
5.NBT.A.1Look For A Pattern3STEP 3
쪼갠 결과로 식 전체를 다시 쓰기
식 전체를 그 꼴로 다시 씁니다.
2020 × 20212021 - 2021 × 20202020 = 2020 × (2021 × 10001) - 2021 × (2020 × 10001)
어떤 수를 그와 같은 값의 곱으로 바꿔 놓는 것은 언제나 해도 되는 일입니다. 여기서 그렇게 할 값어치가 있는 것은, 곱은 자기 재료를 그대로 보여 주는데 여덟 자리 숫자는 그 재료를 감추기 때문입니다.
6.EE.A.3Organize Information In More Ways4STEP 4
두 항이 순서만 다른 같은 곱임을 알아보기
두 항이 똑같은 곱이 됩니다.
2020 × 2021 × 10001 - 2021 × 2020 × 10001 = 0
그 공통의 곱이 얼마인지는 끝내 알지 못하고, 알 필요도 없습니다. 빼기 기호 양쪽이 같은 인수들의 모임이라는 것만 확인되면, 그것이 아무리 큰 수로 불어나든 답은 0입니다.
6.EE.A.3Look For A Pattern5STEP 5
같은 모양의 작은 문제로 확인하기
그래서 값은 0입니다.
24 × 2525 - 25 × 2424 = 60600 - 60600 = 0
작은 판은 보통의 곱셈으로 일 분 안에 끝낼 수 있습니다. 그래서 이것은 지름길을 말만 바꿔 되풀이한 것이 아니라, 지름길을 진짜로 시험해 본 것입니다.
5.NBT.B.5Solve An Easier Related Problem정답
0
20212021 = 2021 × 10001
두 곱은 어마어마하게 큽니다. 각각 4 × 10¹⁰을 조금 넘습니다. 그러니 답이 0이라는 말은 두 값이 정확히 같을 때만 믿을 수 있는데, 실제로 둘 다 2020 × 2021 × 10001로 같은 세 인수의 곱입니다. 크기로 어림해 보아도 둘이 가까울 수밖에 없습니다. 2020 × 20212021과 2021 × 20202020은 양쪽 모두 2020쯤 되는 인수 하나와 2020만쯤 되는 인수 하나를 가지고 있고, 앞쪽은 여덟 자리 수가 조금 크고 뒤쪽은 곱하는 수가 조금 커서 그 작은 이득이 서로 상쇄됩니다. 마지막으로 자연수끼리의 순수한 계산이니 답에는 단위가 붙지 않은 정수가 와야 하는데, 0이 그렇습니다.
핵심 정리
덩어리가 되풀이되는 수는 그 덩어리에 10001(또는 101, 1001)을 곱한 것입니다. 그것을 앞으로 빼내고 나면 거대해 보이던 두 곱이 사실은 쌍둥이였음이 드러납니다.
- 두 자리 덩어리로 먼저 해 보기: 2424는 사실 무엇인가
- 덩어리를 두 칸이 아니라 네 칸 밀기
- 쪼갠 결과로 식 전체를 다시 쓰기
- 두 항이 순서만 다른 같은 곱임을 알아보기
- 같은 모양의 작은 문제로 확인하기
이어서 풀어볼까요