문제
간단히 계산하기(2)
계산 다섯 개는 (1/2-1/4)+(1/4-1/6)+…+(1/48-1/50), 1-(1/3-1/6)-(1/6-1/12)-(1/12-1/24)-(1/24-1/48), (4/7×1 1/9×4/11)÷(2/11×2/7×5/9), 19/99+19/99×2+…+19/99×10, (1×2+2×4+…+50×100)/(2×3+4×6+…+100×150)입니다. 식마다 한 번 고쳐 쓰면 쉬워집니다. 다섯 식의 값을 각각 구합니다.
사고력 · 초6-2 분수의 혼합 계산
내 답
조심 괄호를 그냥 지우고 싶지만 빼는 괄호는 안쪽 부호가 모두 바뀝니다.
풀이 과정
전략 다르게 정리하기 — 다섯 식 가운데 계산 자체가 어려운 것은 하나도 없습니다. 어려운 것은 적혀 있는 순서뿐입니다. 그러니 계산하기 전에 고쳐 쓰는 것이 계획이고, 쓰는 수는 딱 셋입니다. 괄호를 벗겨서 +1/4와 -1/4가 서로를 찾아가게 하기, 곱셈과 나눗셈의 순서를 바꿔서 4/7가 2/7를 만나게 하기, 모든 항이 함께 가진 수를 앞으로 빼내서 19/99나 k × k가 밖으로 나오게 하기입니다. 어느 수를 쓸지는 무엇이 되풀이되는지를 보면 정해집니다. 여러 괄호에 같은 분수가 되풀이되면 괄호 벗기기, 분모가 서로 맞으면 순서 바꾸기, 모든 항에 같은 인수가 있으면 앞으로 빼내기입니다. 각 식을 항 서너 개짜리로 줄여 보면 그 되풀이가 먼저 눈에 들어옵니다.
1STEP 1
(1) 괄호를 벗기고 이웃끼리 지워지는 것을 보기
(1)은 괄호를 벗기면 이웃끼리 지워져 12/25입니다.
1/2-1/4+1/4-1/6+1/6-…+1/48-1/50 = 1/2-1/50 = 25/50-1/50 = 24/50 = 12/25
괄호부터 계산하는 것이 바로 함정입니다. 그러면 분모가 다른 분수 스물네 개를 더해야 합니다. 대신 괄호를 지우는 데는 아무 대가도 들지 않습니다. 덧셈으로 붙은 괄호는 부호를 바꾸지 않으니까요. 그러고 나면 -1/4+1/4=0을 아는 사람이면 누구나 지워지는 것이 보입니다.
5.OA.A.1Organize Information In More Ways2STEP 2
(2) 빼는 괄호는 안쪽 부호를 뒤집는다
(2)는 부호를 뒤집어 11/16입니다.
1-1/3+1/48 = 48/48-16/48+1/48 = 33/48 = 11/16
조심할 것은 뒤집히는 부호 하나뿐입니다. 각 괄호의 뒤쪽 분수가 밖으로 나오면서 +가 됩니다. 그 뒤로는 분모를 48로 맞춘 분수 셋을 더하고 빼는 일이니 어렵지 않습니다.
5.NF.A.1Organize Information In More Ways괄호를 빼면 그 안의 모든 것의 부호가 뒤집히며, 그래서 두 번째 분수가 양수로 나온다.
왜?
한 묶음을 통째로 덜어낸다는 것은 그 안의 항을 하나하나 덜어낸다는 뜻이므로, 공통된 빼기가 안의 모든 항에 닿는다.
🧱분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
왜?
빼기는 더하기를 되돌리므로, 이미 빼지고 있던 것을 다시 덜어내면 더하기로 되돌아온다.
🧱역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
3STEP 3
(3) 인수 하나씩 나눈 뒤 분모가 같은 짝끼리 붙이기
(3)은 인수마다 나누어 짝지어 8입니다.
(4/7÷2/7)×(10/9÷5/9)×(4/11÷2/11) = 2 × 2 × 2 = 8
분모가 딱딱 들어맞는다는 것은 문제를 낸 사람이 '이 둘을 만나게 하라'고 보내는 신호입니다. 분모가 같으면 분수의 나눗셈도 자연수의 나눗셈처럼 쉽습니다. 1/7이 넷 있는 것을 둘씩 묶으면 두 묶음이니까요.
6.NS.A.1Organize Information In More Ways4STEP 4
(4) 되풀이되는 분수를 앞으로 빼내기
(4)는 되풀이되는 분수를 빼내 10 5/9입니다.
19/99×(1+2+…+10) = 19/99 × 55 = (19 × 5)/9 = 95/9 = 10 5/9
분배법칙을 거꾸로 읽은 것입니다. a × 1 + a × 2 + … + a × 10 = a × (1+2+…+10)이니까요. 첫 항에 보이지 않게 숨어 있는 × 1을 알아채는 것만 조금 까다롭고, 괄호가 만들어지고 나면 안쪽 합은 짝 짓기로 금방 나옵니다.
6.EE.A.3Look For A Pattern5STEP 5
(5) 분자와 분모를 같은 방식으로 묶어내기
(5)는 분자와 분모를 같이 묶어 1/3입니다.
(1×2)×(1×1+2×2+…+50×50)/(2×3)×(1×1+2×2+…+50×50) = (1×2)/(2×3) = 2/6 = 1/3
곱 쉰 개를 더하는 그 어마어마한 합은 한 번도 계산되지 않습니다. 똑같은 합이 분수선 위아래에 나란히 있으면 그대로 약분되기 때문입니다. 남는 것은 각각에 올라타 있던 상수, 위의 2와 아래의 6뿐입니다.
6.EE.A.3Identify Subproblems6STEP 6
식을 줄여서 답마다 확인하기
짧게 줄인 식으로 확인해도 모두 맞습니다.
(1×2+2×4)/(2×3+4×6) = (2+8)/(6+24) = 10/30 = 1/3
같은 모양을 작게 줄여 놓으면 느리고 정직한 방법으로 몇 초 만에 계산할 수 있습니다. 거기서도 지름길이 같은 값을 내놓는다면 지름길을 제대로 쓰고 있다는 뜻입니다.
5.OA.A.1Solve An Easier Related Problem정답
12/25, 11/16, 8, 10 5/9, 1/3
1/2 − 1/50 = 24/50
답이 모두 각 식이 허락하는 범위 안에 들어 있습니다. (1)은 양수를 더해 가지만 뺐던 분수가 곧바로 되돌아오므로 1/2을 결코 넘지 못하는데, 12/25는 1/2에 살짝 못 미칩니다. (2)는 1에서 작은 양을 조금씩 빼므로 1보다 조금 작되 1/2보다는 넉넉히 커야 하는데, 11/16이 여기 맞고 풀이대로 1-1/3 = 2/3보다 정확히 1/48만큼 큽니다. (3)은 분모가 같으면서 더 작은 분수 셋으로 나누는 것이니 깔끔한 자연수가 나와야 하고, 2 × 2 × 2 = 8이 바로 그 수입니다. (4)는 대략 0.19 × 55이니 10을 조금 넘어야 하는데 10 5/9가 그렇습니다. (5)는 2k × k 꼴의 합과 6k × k 꼴의 합을 견주는 것이라 항마다 아래가 위의 세 배이니 1/3일 수밖에 없고, 첫 항만 보아도 2/6에서 이미 1/3이 나옵니다.
핵심 정리
계산하기 전에 먼저 자리를 다시 잡으세요. 괄호를 벗기고, 짝이 맞는 수끼리 붙여 놓고, 모든 항이 함께 가진 것은 앞으로 빼내면 됩니다.
- (1) 괄호를 벗기고 이웃끼리 지워지는 것을 보기
- (2) 빼는 괄호는 안쪽 부호를 뒤집는다
- (3) 인수 하나씩 나눈 뒤 분모가 같은 짝끼리 붙이기
- (4) 되풀이되는 분수를 앞으로 빼내기
- (5) 분자와 분모를 같은 방식으로 묶어내기
- 식을 줄여서 답마다 확인하기
이어서 풀어볼까요