문제
부분분수
보기의 규칙은 1/2-1/3 = (3-2)/(2×3), 1/2+1/3 = (3+2)/(2×3)입니다. 이 규칙을 거꾸로 써서 쪼갤 네 식은 1/(1×2)+…+1/(5×6), 2/(1×3)+…+2/(9×11), 1+3 1/6+5 1/12+…+15 1/72, 1-5/6+7/12-…+19/90입니다. 네 식의 값을 각각 구합니다.
사고력 · 초6-2 분수와 소수의 혼합 계산
내 답
조심 모두 차 꼴로 쪼개고 싶지만 분자가 합인 식은 합 꼴로 쪼개야 합니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — |보기| 상자는 거꾸로 읽어 달라고 놓인 규칙입니다. 그래서 첫 수는 패턴 찾기입니다. 답의 분자와 분모가 처음 두 분모와 어떤 관계인지부터 알아냅니다. 그다음 할 일은 고쳐 쓰기뿐입니다. 항마다 값은 그대로인 다른 모양으로 바꾸어 놓으면, 이웃한 조각끼리 서로를 지워 버립니다. 네 식은 서로 독립적이므로 작은 문제 넷으로 나누어 앞의 것이 뒤의 것을 받쳐 주게 합니다. (1)과 (2)로 차 꼴을 익히고, (3)에서 그 차 꼴을 대분수 속에서 다시 쓰며, (4)에서는 합 꼴로 갈아탑니다.
1STEP 1
보기에서 규칙을 읽어 낸 다음 방향을 뒤집기
보기의 규칙을 거꾸로 씁니다.
(b-a)/(a × b) = 1/a - 1/b (b+a)/(a × b) = 1/a + 1/b
분모가 다른 분수를 더하고 빼려면 통분을 하는데, 이것은 그 통분을 반대 방향으로 적은 것뿐입니다. 1/a와 1/b를 합치면 아래가 a × b, 위가 b-a 또는 b+a가 되니, 그 모양이 보이면 도로 갈라놓을 수 있습니다.
5.NF.A.1Look For A Pattern2STEP 2
(1) 각 항을 차로 쪼개면 가운데가 서로 지워진다
(1)은 쪼개면 가운데가 지워져 5/6입니다.
(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+(1/5-1/6) = 1 - 1/6 = 5/6
어떤 수를 더했다가 그 수를 도로 빼면 제자리입니다. 항을 차로 고쳐 쓰기만 하면 사슬의 가운데는 저절로 사라지니, 분모 60으로 통분할 일은 아예 생기지 않습니다.
5.NF.A.1Organize Information In More Ways각 항을 두 분수의 차로 쪼개면 가운데 조각들이 서로 지워지고 양 끝만 남는다.
왜?
각 항의 뒤쪽 조각은 바로 다음 항의 앞쪽 조각과 정확히 같으므로, 그 짝은 합해서 0이 되어 사라진다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
분모가 같은 두 분수는 같은 크기 조각을 세어 빼므로, 지워지는 것이 어림이 아니라 정확하다.
🧱분수는 하나를 똑같이 나눈 몫아래 수는 하나를 똑같이 몇 조각으로 잘랐는지를, 위 수는 그중 몇 조각인지를 말한다 — 그래서 같은 크기 조각은 세기만 하면 더해진다.
3STEP 3
(2) 분자 2가 곧 두 수의 차이므로 차 꼴이 그대로 통한다
(2)도 분자가 차와 같아 10/11입니다.
2/(1 × 3)+2/(3 × 5)+2/(5 × 7)+2/(7 × 9)+2/(9 × 11) = 1 - 1/11 = 10/11
규칙은 두 분모가 이웃한 수여야 한다고 말한 적이 없습니다. 분자가 두 수의 차이기만 하면 된다고 했을 뿐입니다. 2를 3-1로 고쳐 쓰는 것이 그 조건을 정말 만족하는지 확인하는 절차입니다.
5.NF.A.1Look For A Pattern4STEP 4
(3) 대분수를 자연수 무더기와 분수 무더기로 갈라놓기
(3)은 자연수와 분수 두 무더기로 가릅니다.
(1+3+5+7+9+11+13+15) + (1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56+1/72) = 64 + (…)
덧셈은 순서를 바꾸어도 되고 묶는 방법을 바꾸어도 됩니다. 그래서 자연수는 자연수끼리, 분수는 분수끼리 모을 수 있습니다. 홀수는 바깥에서 안으로 짝을 지으면 합이 모두 같아집니다.
1.OA.B.3Identify Subproblems5STEP 5
(3) 분모를 이웃한 두 수의 곱으로 고치면 같은 사슬이 나온다
분모를 이웃한 두 수의 곱으로 고쳐 64 7/18입니다.
1/(2 × 3)+1/(3 × 4)+…+1/(8 × 9) = 1/2-1/9 = 7/18, 64 + 7/18 = 64 7/18
6, 12, 20, 30, 42, 56, 72의 곱셈 짝을 찾는 일은 구구단 수준의 작업입니다. 그런데 그 평범한 작업이 흩어져 보이던 일곱 분수가 실은 하나의 깔끔한 사슬임을 드러냅니다.
4.OA.B.4Look For A Pattern6STEP 6
(4) 이 식은 차 꼴이 아니라 합 꼴이다
(4)는 합 꼴로 쪼개야 합니다.
5/6=(3+2)/(2 × 3)=1/2+1/3, 7/12=(4+3)/(3 × 4)=1/3+1/4, 19/90=(10+9)/(9 × 10)=1/9+1/10
두 규칙은 생김새가 거의 같고, 갈라놓는 것은 오직 분자가 아래 두 수의 합인지 차인지 하나뿐입니다. 그래서 그 확인이 언제나 맨 앞에 와야 합니다.
5.NF.A.1Look For A Pattern7STEP 7
(4) 괄호를 풀면 엇갈린 부호가 알아서 지워 준다
괄호를 풀면 엇갈린 부호가 지워 주어 3/5입니다.
1-(1/2+1/3)+(1/3+1/4)-(1/4+1/5)+…+(1/9+1/10) = 1-1/2+1/10=3/5
괄호가 사라지고 나면 남는 것은 더하기와 빼기 부호가 붙은 단위분수의 줄일 뿐입니다. 짝을 찾아 지우는 일은 5학년이 한 줄로 끝낼 수 있는 정리 작업입니다.
5.NF.A.1Organize Information In More Ways정답
5/6, 10/11, 64 7/18, 3/5
1 − 1/6 = 5/6
네 답 모두 크기가 알맞습니다. (1)의 다섯 항은 1/2, 1/6, 1/12, 1/20, 1/30으로 갈수록 작아지고, 어림하면 0.5+0.167+0.083+0.05+0.033 = 0.833쯤이라 5/6과 맞아떨어집니다. (2)의 항 2/3, 2/15, 2/35, 2/63, 2/99를 어림해 더하면 0.667+0.133+0.057+0.032+0.020 = 0.909쯤이니 10/11입니다. (3)은 자연수 부분만으로 이미 64이고 분수 일곱 개는 모두 작으므로 답이 64보다 조금 크고 65보다는 작아야 하는데, 7/18이 1보다 작으니 64 7/18이 그 조건에 맞습니다. (4)는 부호가 엇갈리며 항이 작아지므로 값이 앞의 두 부분합 1과 1-5/6=1/6 사이에 있어야 하는데, 3/5=0.6은 0.167과 1 사이에 있습니다. (1)과 (4)를 분모 60과 2520으로 통분해 곧이곧대로 더해 보아도 5/6과 3/5가 그대로 나옵니다.
핵심 정리
분자를 아래 두 수와 견주어 보세요. 두 수의 차이면 뺄셈으로, 두 수의 합이면 덧셈으로 갈라지고, 그러고 나면 분수들이 줄줄이 서로를 지워 버립니다.
- 보기에서 규칙을 읽어 낸 다음 방향을 뒤집기
- (1) 각 항을 차로 쪼개면 가운데가 서로 지워진다
- (2) 분자 2가 곧 두 수의 차이므로 차 꼴이 그대로 통한다
- (3) 대분수를 자연수 무더기와 분수 무더기로 갈라놓기
- (3) 분모를 이웃한 두 수의 곱으로 고치면 같은 사슬이 나온다
- (4) 이 식은 차 꼴이 아니라 합 꼴이다
- (4) 괄호를 풀면 엇갈린 부호가 알아서 지워 준다