문제
간단히 계산하기
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64을 더합니다. 넓이가 1인 정사각형을 반씩 계속 자르면 각 항에 조각이 하나씩 대응됩니다. 여섯 분수의 합을 구합니다.
사고력 · 초5-1 분수의 계산
내 답
조심 정사각형이 다 찬 것 같지만 마지막 조각 1/64가 남아 합은 1이 아닙니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 그림은 덧셈을 넓이 문제로 바꿔 줍니다. 넓이가 1인 정사각형 안에서 각 항이 조각 하나가 되고 나면, 여섯 항을 더하는 일은 색칠된 부분이 얼마나 되는지 재는 일과 같습니다. 그리고 그것을 재는 빠른 길은 색칠되지 않은 쪽을 보는 것입니다. 비어 있는 칸은 작은 것 하나뿐이니 덧셈 여섯 번이 뺄셈 한 번으로 줄어듭니다. 그다음에는 분모의 규칙을 이용해 그림 없이 같은 계산을 다시 해 봅니다. 각 항을 두 수의 차로 고쳐 쓰면 이웃한 조각끼리 서로 지워지는데, 이렇게 하면 답이 확인될 뿐 아니라 이 방법이 이 정사각형에서만 통하는 요령이 아니라는 것도 드러납니다.
1STEP 1
무엇보다 먼저 항의 개수 세기
분모가 2씩 곱해져 항은 6개입니다.
2=2¹, 4=2², 8=2³, 16=2⁴, 32=2⁵, 64=2⁶ → 6 terms
분모가 두 배씩 커진다는 것은 조각이 매번 절반씩 작아진다는 뜻입니다. 항을 세는 일은 곧 정사각형을 몇 번 반으로 잘랐는지 세는 일입니다.
4.NF.A.1Look For A Pattern2STEP 2
각 항을 정사각형의 조각과 짝지어 보기
각 항이 정사각형의 한 조각과 짝지어집니다.
1 = 1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+(blank cell)
도형을 똑같은 부분으로 나누고 그 한 부분을 전체의 단위분수라 부르는 것은 3학년에서 하던 일입니다. 여기서 새로운 것이라고는 그 일을 여섯 번 이어서 한다는 것뿐입니다.
3.G.A.2Draw A Diagram3STEP 3
빈칸의 크기 알아내기
채워지지 않은 조각은 1/64입니다.
blank cell = 1/64
크기가 같으면 전체에서 차지하는 몫도 같습니다. 재어 볼 것도 없이, 반으로 잘랐다는 사실만으로 충분합니다.
3.G.A.2Draw A Diagram4STEP 4
관점 바꾸기: 전체에서 남은 한 조각 빼기
그래서 합은 1 − 1/64 = 63/64입니다.
1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64 = 1-1/64 = 64/64-1/64 = 63/64
있는 것을 세는 대신 없는 것을 세라는 것이 이 그림의 핵심입니다. 더할 조각 여섯 개가 덜어 낼 조각 하나로 바뀝니다.
5.NF.A.1Change Focus Count The Complement5STEP 5
그림 없이 다시 하기: 각 항을 차로 고쳐 쓰기
각 항을 차로 고쳐 써도 63/64입니다.
(1-1/2)+(1/2-1/4)+(1/4-1/8)+(1/8-1/16)+(1/16-1/32)+(1/32-1/64)=1-1/64=63/64
한 항을 이웃한 두 수의 차로 써 두면 식의 가운데가 통째로 무너집니다. 이 단원이 내내 강조하는 '계산하기 전에 간단히 하라'와 같은 수이고, 그림으로 그리기엔 너무 긴 합에도 그대로 통합니다.
5.NF.A.1Look For A Pattern각 항을 두 분수의 차로 고쳐 쓰면 가운데 조각들이 서로 지워지고 양 끝만 남는다.
왜?
각 항의 뒤쪽 조각은 바로 다음 항의 앞쪽 조각과 정확히 같으므로, 그 짝은 합해서 0이 되어 사라진다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
분모가 같은 두 분수는 조각을 세어 빼므로, 지워지는 것이 어림이 아니라 정확하다.
🧱분수는 하나를 똑같이 나눈 몫아래 수는 하나를 똑같이 몇 조각으로 잘랐는지를, 위 수는 그중 몇 조각인지를 말한다 — 그래서 같은 크기 조각은 세기만 하면 더해진다.
6STEP 6
통분해서 정직하게 확인하기
통분해 더해도 63/64로 맞습니다.
32/64+16/64+8/64+4/64+2/64+1/64=63/64
느린 방법이 빠른 방법과 같은 답을 냅니다. 게다가 분자 32, 16, 8, 4, 2, 1 자체가 절반씩 줄어드는 규칙이고, 그 합이 64에서 딱 1 모자란 것이 바로 답이 정사각형 전체에서 1/64만큼 모자란 이유입니다.
5.NF.A.1Look For A Pattern정답
63/64
1 − 1/64 = 63/64
답은 1보다 아주 조금 작은 분수인데, 그림이 보여 주는 모습과 정확히 같습니다. 넓이가 1인 정사각형이 거의 다 색칠되어 있고 작은 칸 하나만 비어 있으니까요. 아래쪽 어림으로도 맞습니다. 첫 항만 해도 1/2이므로 합은 1/2보다 커야 하는데 63/64가 그렇습니다. 또 매 단계마다 남은 부분의 절반이 색칠되지 않은 채로 남으므로 합이 1에 닿을 수는 없습니다. 서로 다른 세 가지 길이 모두 63/64로 모입니다. 빈칸 1/64을 1에서 빼는 넓이 논법, 첫 항과 끝 항 사이가 모두 지워지는 차 고쳐 쓰기, 그리고 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 63을 64로 나누는 통분 덧셈입니다. 항의 개수도 여섯 개로, 정사각형에서 글자가 적힌 조각 여섯 개와 일치합니다.
핵심 정리
조각마다 남은 것의 절반씩이면 조각들이 전체를 거의 다 채워요. 그러니 채워진 쪽 대신 빠진 쪽을 더하세요. 1/64짜리 칸 하나뿐이니 답은 63/64입니다.
- 무엇보다 먼저 항의 개수 세기
- 각 항을 정사각형의 조각과 짝지어 보기
- 빈칸의 크기 알아내기
- 관점 바꾸기: 전체에서 남은 한 조각 빼기
- 그림 없이 다시 하기: 각 항을 차로 고쳐 쓰기
- 통분해서 정직하게 확인하기