문제
입체도형에서의 최단거리
사분원 전개도 넷의 무늬는 아래 반지름과 나란한 줄무늬, 촘촘한 사선, 겹겹의 ㄱ자, 반대 방향의 성긴 사선입니다. 아래 원뿔 넷은 밑면과 나란한 띠, 이음선을 사이에 두고 좌우가 어긋난 띠, 촘촘한 ∨ 띠, 성긴 ∧ 띠입니다. 원뿔마다 어느 전개도인지 짝지어 씁니다.
사고력 · 초6-2 최단거리와 겉넓이
내 답
조심 줄무늬 수가 곧 띠의 수 같지만 이음매에서 이어지면 띠가 절반쯤으로 줄어듭니다.
풀이 과정
전략 직접 만져보기 — 가장 정직한 방법은 사분원 네 장을 오려 무늬를 그려 넣고 하나씩 말아 보는 것입니다. 그러면 답이 손안에 들어옵니다. 그런데 말아 보는 동안 눈으로도 판별할 수 있게 해 주는 규칙이 함께 배워집니다. 종이는 구부러지되 늘어나지 않으므로, 어떤 점이 부채꼴의 중심에서 떨어진 거리가 곧 원뿔에서 꼭짓점으로부터 모선을 따라 잰 거리가 됩니다. 그러니 줄무늬에 대해 물어야 할 것은 딱 두 가지입니다. 돌아가는 동안 중심에서의 거리가 어떻게 변하는가, 그리고 곧은 두 반지름에 어떤 모양으로 닿는가. 두 반지름은 맞붙어 하나의 이음선이 되니까요. 전개도를 하나씩 이 두 눈으로 읽고, 어느 원뿔이 되는지 짧게 적어 두어 같은 원뿔이 두 번 쓰이지 않게 합니다.
1STEP 1
부채꼴을 말면 점들이 어디로 가는가
부채꼴의 중심에서의 거리가 꼭짓점에서의 거리가 됩니다.
(부채꼴의 중심에서 떨어진 거리) = (꼭짓점에서 모선을 따라 잰 거리)
구부리는 것은 늘리는 것이 아닙니다. 종이 한 장을 통 모양으로 말아도 그려 둔 선의 길이는 그대로입니다. 이 한 가지 사실 덕분에 이 수수께끼가 따져 볼 만한 문제가 됩니다.
8.G.A.1Create A Physical Representation부채꼴을 말아도 모든 점은 꼭짓점에서의 거리를 그대로 지키므로, 전개도의 띠가 원뿔을 두르는 띠가 된다.
왜?
말기는 종이를 늘이지 않으므로, 표면을 따라 잰 거리는 접힌 뒤에도 그대로 남는다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
꼭짓점에서 같은 거리에 있는 점들은 원뿔을 두르는 원을 이루는데, 원이란 바로 중심에서 일정한 거리에 있는 점들이기 때문이다.
🧱원의 반지름은 일정하다원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있어, 한 원의 모든 반지름은 같다.
2STEP 2
무엇을 볼지 두 가지로 정리하기
그러니 띠의 모양과 개수만 보면 됩니다.
짐작할 일이 두 가지 질문으로 줄어듭니다. 중심에서 얼마나 떨어져 있는가, 그리고 주황색 두 변에 어떻게 닿는가.
6.G.A.4Visualize Spatial Relationships3STEP 3
㉢은 밑면과 나란한 띠가 된다 - 첫 번째 원뿔
㉢은 밑면과 나란한 띠라 첫째 원뿔입니다.
한 점을 둘러싸고 겹겹이 놓인 직각 모양은 한 점을 둘러싼 고리들의 납작한 모습입니다. 말아 올리면 고깔모자에 둘러진 테가 됩니다.
4.G.A.2Draw A Diagram4STEP 4
㉠은 좌우가 어긋난 원뿔이 된다 - 두 번째 원뿔
㉠은 좌우가 어긋나 둘째 원뿔입니다.
한쪽 변과는 수직이고 다른 쪽 변과는 나란하니 그 어긋남이 어딘가에서는 드러나야 합니다. 드러나는 자리가 바로 두 변이 맞붙는 이음선입니다.
4.G.A.2Visualize Spatial Relationships5STEP 5
㉡과 ㉣은 둘 다 꺾인 띠를 만든다 - 꺾이는 방향으로 갈라야 한다
㉡과 ㉣은 둘 다 꺾인 띠를 만듭니다.
(줄무늬 6개) → (띠 6줄)
전개도가 띠를 몇 줄 만들어 내는지 알아 두면, 원뿔에 그려진 띠를 세어 맞춰 보는 뒷받침을 하나 더 얻게 됩니다.
6.G.A.4Make A Systematic List6STEP 6
㉡의 줄무늬는 둘씩 이어져 띠가 절반쯤으로 줄어든다
㉡은 줄무늬가 이어져 띠가 적습니다.
(줄무늬 9개, 둘씩 이어짐) → (띠 4줄쯤)
기억해 둘 만한 뜻밖의 일입니다. 줄이 더 많이 그려진 전개도가 오히려 띠가 적은 원뿔이 됩니다. 줄들이 원뿔 뒤편에서 둘씩 짝을 지어 버리기 때문입니다.
6.G.A.4Make A Systematic List7STEP 7
꺾인 띠 두 원뿔은 꺾이는 방향으로 짝짓기
띠 수로 갈라 ㉣이 셋째, ㉡이 넷째입니다.
이음선에서 꺾이는 방향이 판정을 내리고, 띠의 개수가 그 판정에 고개를 끄덕여 줍니다. 서로 다른 두 단서가 같은 짝을 가리키니 마지막 단계가 찍기가 아니라 확인이 됩니다.
6.G.A.4Visualize Spatial Relationships8STEP 8
네 기호를 써넣고 겹친 것이 없는지 보기
네 기호가 겹치지 않고 하나씩 쓰입니다.
짝짓기 문제에서 마지막 점검은 공짜입니다. 같은 기호가 두 번 나왔다면 적어도 두 칸이 틀린 것이니까요.
6.G.A.4Make A Systematic List정답
㉢, ㉠, ㉣, ㉡
네 기호가 저마다 꼭 한 번씩 쓰였으니 넷을 넷에 짝짓는 문제의 요건을 갖추었습니다. 마지막 두 짝은 이음선에서 꺾이는 방향이 갈라 줍니다. ㉣의 줄무늬는 두 반지름에 닿는 자리가 부채꼴의 중심에서 가장 먼 곳이므로 띠가 이음선에서 가장 낮게 내려갔다가 양옆으로 올라가고, ㉡의 줄무늬는 반지름에 닿는 자리가 중심에서 가장 가까우므로 띠가 이음선에서 솟았다가 양옆으로 떨어집니다. 그림 속 세 번째 원뿔의 띠는 이음선에서 처지고 네 번째 원뿔의 띠는 이음선에서 솟으니, 세 번째가 ㉣, 네 번째가 ㉡입니다. 띠의 개수도 이 읽기를 거들어 줍니다. ㉢의 겹겹이 놓인 직각 무늬 일곱 줄이 첫 번째 원뿔의 테 일곱 줄쯤과 맞고, ㉣의 현과 나란한 여섯 줄이 각각 한 바퀴를 채워 세 번째 원뿔의 좁은 띠 여러 줄과 맞으며, ㉡의 아홉 줄은 뒤편에서 둘씩 이어져 네 줄쯤이 되어 네 번째 원뿔의 넓은 띠 몇 줄과 맞습니다. 한쪽 반지름과는 수직이고 다른 쪽 반지름과는 나란한 전개도 ㉠이 좌우가 대칭이 아닌 유일한 원뿔인 두 번째 원뿔에 짝지어진 것도 다른 전개도로는 흉내 낼 수 없는 일입니다. 종이로 원뿔 네 개를 실제로 말아 보면 네 짝이 모두 그대로 나옵니다.
핵심 정리
부채꼴의 중심은 꼭짓점이 되고 곧은 두 변은 하나의 이음선이 됩니다. 그러니 무늬가 중심에서 떨어진 거리가 곧 원뿔에서의 높이이고, 이음선에서 띠가 어느 쪽으로 꺾이는지를 보면 어느 전개도인지 가려낼 수 있습니다.
- 부채꼴을 말면 점들이 어디로 가는가
- 무엇을 볼지 두 가지로 정리하기
- ㉢은 밑면과 나란한 띠가 된다 - 첫 번째 원뿔
- ㉠은 좌우가 어긋난 원뿔이 된다 - 두 번째 원뿔
- ㉡과 ㉣은 둘 다 꺾인 띠를 만든다 - 꺾이는 방향으로 갈라야 한다
- ㉡의 줄무늬는 둘씩 이어져 띠가 절반쯤으로 줄어든다
- 꺾인 띠 두 원뿔은 꺾이는 방향으로 짝짓기
- 네 기호를 써넣고 겹친 것이 없는지 보기