문제
회전체를 위, 앞, 옆에서 본 모양
회전체 여섯 개는 원기둥, 원뿔, 회전축을 따라 구멍이 뚫린 원뿔대, 원뿔을 얹은 원기둥, 작은 원뿔 아래 넓은 원기둥과 좁은 원기둥, 구멍이 뚫린 모래시계 모양입니다. 여섯 회전체를 위, 앞, 옆에서 본 모양 열여덟 칸을 모두 채웁니다.
사고력 · 초6-2 회전체와 단면
내 답
조심 구멍이 앞에서도 보일 것 같지만 겉면에 가려 앞에서는 보이지 않습니다.
풀이 과정
전략 공간 상상하기 — 빈칸이 열여덟 개라 일이 열여덟 가지처럼 보이지만, 회전체는 워낙 반듯해서 짧은 규칙 두 개면 거의 다 메워집니다. 위에서 보면 언제나 원이거나 가운데가 뚫린 고리이고, 앞에서 본 모양과 옆에서 본 모양은 언제나 같은 그림이라는 것입니다. 그래서 이 두 규칙을 먼저 한 번만 확인해 두면 그것만으로 빈칸 열두 개가 채워지고, 남는 일은 줄마다 옆모습 하나씩을 조각을 쌓아 만드는 것뿐입니다. 오려 낸 도형을 연필에 붙여 돌려 보거나 통조림 통, 고깔모자, 실패 같은 물건을 세 방향에서 들여다보는 것이 두 규칙을 납득하는 가장 빠른 길입니다.
1STEP 1
'회전체'라는 말이 보장해 주는 것
회전체는 축을 둘러 어느 쪽에서나 같습니다.
나머지 모든 이야기가 이 사실 하나 위에 서 있고, 이것은 손으로 느껴 볼 수 있습니다. 두꺼운 종이 도형을 연필에 붙여 돌리면 흐릿하게 보이는 그 덩어리가 바로 회전체이고, 어느 높이에서나 완전히 둥급니다.
7.G.A.3Create A Physical Representation2STEP 2
규칙 1 — 위에서 본 모양은 원, 아니면 가운데가 뚫린 고리
위에서 보면 원이나 고리입니다.
(위에서 본 원의 반지름) = (회전체에서 가장 큰 반지름)
수평 단면이 모두 같은 중심을 가진 원이니 위에서 보면 다들 가장 큰 원 안에 들어앉습니다. 가장 굵은 곳보다 밖으로 삐져나올 수 있는 것은 없습니다.
7.G.A.3Visualize Spatial Relationships3STEP 3
규칙 2 — 앞에서 본 모양과 옆에서 본 모양은 언제나 같다
앞과 옆에서 본 모양은 언제나 같습니다.
옆으로 어느 방향에서 보아도 같은 입체라면 앞, 옆, 뒤, 반대쪽 옆이 모두 같은 겉모양을 줍니다. 그러니 한 번만 그리면 됩니다.
4.G.A.3Look For A Pattern회전체의 앞에서 본 그림과 옆에서 본 그림은 언제나 똑같다.
왜?
입체를 축으로 4분의 1바퀴 돌리면 자기 자신에 정확히 포개지므로, 두 방향에서 똑같은 모양이 보인다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
어느 높이에서도 입체는 축을 중심으로 한 원이므로, 어느 쪽에서 보아도 너비가 같다.
🧱원의 반지름은 일정하다원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있어, 한 원의 모든 반지름은 같다.
4STEP 4
규칙 3 — 앞에서 본 모양은 옆선을 회전축에 비춰 만들고, 구멍은 무시한다
앞에서 본 모양은 옆선을 축에 비춰 만듭니다.
(앞에서 본 모양) = (옆선) + (회전축에 대한 대칭)
초등학교에서 배운 선대칭 그대로입니다. 회전축이 대칭축이고, 돌리기 전의 평면도형이 그림의 절반입니다.
4.G.A.3Draw A Diagram5STEP 5
1번과 2번 — 원기둥과 원뿔
원기둥과 원뿔은 직사각형과 삼각형입니다.
이 둘을 먼저 해 두면 좋습니다. 남은 줄들이 모두 직사각형과 삼각형과 사다리꼴을 쌓아 만든 것이기 때문입니다.
7.G.A.3Visualize Spatial Relationships6STEP 6
3번 — 회전축을 따라 구멍이 뚫린 원뿔대
구멍 뚫린 원뿔대는 위에서 고리로 보입니다.
이 사다리꼴은 돌리기 전의 평면도형과 그 거울상을 붙여 놓은 것입니다. 회전체 그림에서 비스듬한 두 변이 그대로 보입니다.
4.G.A.2Visualize Spatial Relationships7STEP 7
4번 — 지름이 같은 원뿔이 얹힌 원기둥
원뿔이 얹힌 원기둥은 앞에서 집 모양입니다.
두 조각의 지름이 같아서 이어지는 자리에 턱이 생기지 않습니다. 지붕이 벽 위에 딱 맞게 앉으니 도형 두 개가 아니라 오각형 하나가 됩니다.
7.G.A.3Draw A Diagram8STEP 8
5번 — 원뿔, 넓고 납작한 원기둥, 좁은 원기둥
세 층짜리 입체는 앞에서 계단 모양입니다.
굵기가 바뀌는 자리마다 겉모양에 턱이 하나씩 생깁니다. 그러니 조각의 개수만 세어도 턱이 몇 군데 나올지 그리기 전에 알 수 있습니다.
7.G.A.3Draw A Diagram9STEP 9
6번 — 회전축을 따라 구멍이 뚫린 모래시계
모래시계도 위에서는 고리입니다.
허리가 가장 가는 높이이고 겉모양이 잘록해지는 자리도 바로 거기입니다. 회전체 그림에서 잘록한 곳을 그대로 읽어 오면 됩니다.
4.G.A.3Visualize Spatial Relationships10STEP 10
완성한 표 점검하기
열여덟 칸이 세 규칙과 모두 맞습니다.
여섯 줄에서 한꺼번에 성립하는 규칙은 한 줄만 들여다보는 것보다 훨씬 강한 검산입니다. 한쪽으로 치우치게 그린 그림도 바로 걸러 냅니다.
4.G.A.3Look For A Pattern정답
위는 원이나 고리, 앞과 옆은 서로 같음
그린 모양은 모두 가로가 회전체의 가장 큰 지름, 세로가 회전체의 높이인 직사각형 안에 들어가야 하는데 열여덟 개가 다 그렇습니다. 위에서 본 모양은 모두 가장 큰 지름의 원이고, 그중 고리로 나오는 것은 구멍의 옆면이 점선으로 그려진 3번과 6번뿐입니다. 그림의 점선이 예고한 그대로입니다. 앞에서 본 모양은 어느 줄에서나 옆에서 본 모양으로 되풀이되는데, 사방 어디서 보아도 같은 입체이니 그럴 수밖에 없습니다. 앞에서 본 모양은 모두 세로 축을 기준으로 좌우 대칭이기도 합니다. 마지막으로 꼭짓점의 개수를 세어 봅니다. 직사각형 4개, 삼각형 3개, 사다리꼴 4개, 집 모양 5개, 지붕 얹은 십자 11개, 모래시계 6개이고, 이 수들은 각 회전체에서 굵기가 바뀌는 자리의 개수와 들어맞습니다.
핵심 정리
돌려서 만든 입체는 사방 어디서 보아도 똑같으니 앞에서 본 모양과 옆에서 본 모양은 그림 한 장입니다. 위에서 보면 언제나 원이고, 구멍이 끝까지 뚫려 있을 때만 한가운데가 비어 고리가 됩니다.
- '회전체'라는 말이 보장해 주는 것
- 규칙 1 — 위에서 본 모양은 원, 아니면 가운데가 뚫린 고리
- 규칙 2 — 앞에서 본 모양과 옆에서 본 모양은 언제나 같다
- 규칙 3 — 앞에서 본 모양은 옆선을 회전축에 비춰 만들고, 구멍은 무시한다
- 1번과 2번 — 원기둥과 원뿔
- 3번 — 회전축을 따라 구멍이 뚫린 원뿔대
- 4번 — 지름이 같은 원뿔이 얹힌 원기둥
- 5번 — 원뿔, 넓고 납작한 원기둥, 좁은 원기둥
- 6번 — 회전축을 따라 구멍이 뚫린 모래시계
- 완성한 표 점검하기
이어서 풀어볼까요