문제
잘라야 하는 모서리의 수
정사각형 3개와 삼각형 4개로 된 전개도가 그려져 있습니다. 점선 여섯 개는 접는 선입니다. 나머지 선은 바깥 둘레를 이룹니다. 접었을 때 생기는 입체의 모서리 수를 구합니다.
사고력 · 초6-1 전개도의 활용
내 답
조심 둘레의 선을 그대로 세고 싶지만 접으면 두 선이 한 모서리가 됩니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 면이 7개인 입체를 머릿속에서 접어 놓고 모서리를 하나하나 세면 딱 그 대목에서 답이 어긋납니다. 그래서 모든 선이 눈에 보이는 평면 그림 위에서 세기로 합니다. 모서리를 두 종류로 나눕니다. 접는 선에서 생기는 모서리와, 둘레 선 두 개가 맞붙어 생기는 모서리입니다. 그리고 각각을 따로 셉니다. 둘레 선을 눈대중으로 세면 두 빗변이 한 직선 위에 놓여 있어 한 줄로 보이므로, 먼저 모든 면의 변을 센 다음 접는 선이 쓴 몫을 빼는 방법을 씁니다. 마지막으로 실제 입체를 떠올려 답을 다시 확인합니다.
1STEP 1
모든 면의 변의 수 세기
모든 면의 변을 세면 24개입니다.
3 × 4 + 3 × 3 + 3 = 12 + 9 + 3 = 24
면마다 변을 세는 일은 곱셈과 덧셈뿐이라 안전합니다. 그림의 선을 눈으로 세는 것과 달리, 두 변이 한 직선 위에 놓여 있어도 속지 않습니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List2STEP 2
점선인 접는 선이 하는 일 살펴보기
접는 선 여섯 개가 변 12개를 씁니다.
6 × 2 = 12 개의 변을 씀, 모서리 6개
종이를 접었을 때 생기는 접힌 자국은 모서리 하나이고, 그 양쪽 종이가 두 면입니다. 전개도의 점선이 뜻하는 것이 바로 그것입니다.
6.G.A.4Visualize Spatial Relationships점선으로 그린 접는 선은 입체의 모서리 하나이며, 그것이 잇는 두 면에서 변을 하나씩 써 버린다.
왜?
접는 선은 두 면에 동시에 속해 각각에서 한 번씩 세어지므로, 그려진 변 두 개가 실제 모서리 하나가 된다.
🧱두 번 세었으면 반으로모든 것을 양쪽 끝에서 한 번씩 세었다면 합계는 정확히 두 배이므로 반으로 나누면 바로잡힌다.
왜?
각 접는 선은 정확히 한 쌍의 면을 이으므로, 접는 선과 이어진 짝이 남김없이 하나씩 대응된다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
3STEP 3
바깥 둘레의 선 세기
남은 둘레의 선은 12개입니다.
24 - 12 = 12
접는 선이 이미 가져간 몫을 빼면 아직 임자가 없는 변만 남습니다. 그 남은 변이 바로 바깥 둘레입니다.
4.OA.A.3Draw A Diagram4STEP 4
둘레 선을 모서리로 바꾸기
둘씩 붙으니 모서리는 6개입니다.
12 ÷ 2 = 6
닫힌 입체의 모서리 하나를 자르면 둘레 선 두 개로 벌어집니다. 그 장면을 거꾸로 돌리면 둘레 선 두 개는 언제나 모서리 하나로 닫힙니다.
6.G.A.4Visualize Spatial Relationships5STEP 5
길이로 짝이 맞는지 확인하기
길이로 보아도 짝이 맞습니다.
8 ÷ 2 = 4, 4 ÷ 2 = 2, 4 + 2 = 6
둘레 선 두 개는 길이가 같아야만 맞붙을 수 있습니다. 그러니 길이별로 갈라 세어 보는 것만으로도 짝짓기가 애초에 가능한지 공짜로 확인할 수 있습니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List6STEP 6
두 종류의 모서리 더하기
접는 선 6개를 더해 모두 12개입니다.
6 + 6 = 12
겹치지도 않고 빠뜨리지도 않는 두 종류로 갈라서 세었다면, 두 값을 그냥 더하기만 하면 됩니다.
4.OA.A.3Identify Subproblems7STEP 7
입체를 직접 떠올려 확인하기
입체를 떠올려 세어도 12개입니다.
12 - 3 + 3 = 12
입체의 이름을 붙이고 나면 답을 눈앞에 그려 놓고 완전히 다른 방법으로 다시 셀 수 있습니다. 같은 셈을 두 번 되풀이하는 것보다 훨씬 값진 확인입니다.
6.G.A.4Visualize Spatial Relationships정답
12 개
6 + 6 = 12
구한 값은 모서리의 개수이므로 자연수여야 하는데 실제로 그렇습니다. 둘레 선 12개가 길이까지 맞으면서 정확히 6쌍으로 갈라졌고(짧은 선 8개, 대각선 4개), 어느 선 하나라도 잘못 세었다면 이렇게 딱 나뉘지 않았을 것입니다. 접는 선 6개는 면 7개를 남김없이 한 덩어리로 이어 주고 남는 접는 선이 없는데, 이것도 맞습니다. 면이 7개인 전개도에는 언제나 7 - 1 = 6개의 접는 선이 필요하기 때문입니다. 답은 오일러의 규칙과도 맞습니다. (꼭짓점의 수) + (면의 수) − (모서리의 수) = 2이므로 면이 7개, 모서리가 12개라면 꼭짓점은 12 - 7 + 2 = 7개여야 하는데, 정육면체에서 한 꼭짓점을 잘라 낸 입체의 꼭짓점은 정확히 7개입니다. 정육면체의 꼭짓점 8개에서 잘려 나간 하나를 뺀 수입니다.
핵심 정리
머릿속으로 접지 말고 펼쳐진 전개도 위에서 세어 보세요. 점선 접는 선 하나는 모서리 하나가 되고, 실선 둘레 선 두 개는 언제나 맞붙어 모서리 하나가 됩니다.
- 모든 면의 변의 수 세기
- 점선인 접는 선이 하는 일 살펴보기
- 바깥 둘레의 선 세기
- 둘레 선을 모서리로 바꾸기
- 길이로 짝이 맞는지 확인하기
- 두 종류의 모서리 더하기
- 입체를 직접 떠올려 확인하기
이어서 풀어볼까요