문제
각기둥과 각뿔의 전개도
완성되지 않은 전개도가 두 개 있고 각각 면이 딱 하나씩 빠져 있습니다. 각뿔 쪽에는 직사각형 1개와 삼각형 3개가 그려져 있습니다. 각기둥 쪽에는 직사각형 2개와 삼각형 2개가 그려져 있습니다. 빠진 면이 무엇인지 말하고 그려 넣습니다.
사고력 · 초6-1 각기둥과 각뿔
내 답
조심 붙일 자리가 하나뿐일 것 같지만 여러 곳이 모두 됩니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 필요한 정보는 모두 그림 안에 있으니 그림 위에서 바로 해결합니다. 대신 할 일을 하나씩 처리할 수 있는 작은 문제 셋으로 쪼갭니다. 첫째, 어떤 입체인가(직사각형과 삼각형이 각각 몇 개인지 센다). 둘째, 어떤 면이 빠졌는가(그려진 면과 그 입체에 필요한 면을 견준다). 셋째, 그 면을 어디에 붙일 수 있는가(바깥 테두리를 한 바퀴 돌면서 길이가 맞는 자유로운 변을 하나씩 살핀다). 테두리를 순서대로 도는 것이 자리를 빠뜨리거나 같은 자리를 두 번 적는 일을 막아 줍니다. 마지막 확인은 종이에 옮겨 그려 실제로 접어 보는 것입니다.
1STEP 1
면을 종류별로 나누어 입체의 이름 정하기
면을 종류별로 세면 각뿔과 각기둥이 갈립니다.
(1) 직사각형 1개 + 삼각형 3개; (2) 직사각형 2개 + 삼각형 2개
아직 접는 모습을 상상할 필요가 없습니다. 그려진 면을 직사각형과 삼각형으로 갈라 놓기만 해도 어떤 입체인지 정해집니다. 각뿔과 각기둥은 필요한 면의 목록이 아예 다르기 때문입니다.
6.G.A.4Identify Subproblems그려진 면을 직사각형과 삼각형으로 나누기만 해도, 접는 모습을 그려 보기 전에 그 입체의 이름이 정해진다.
왜?
각 면은 직사각형이거나 삼각형일 뿐 둘 다일 수 없으므로, 두 개수가 전개도를 완전히 설명한다.
🧱겹치지 않는 경우는 더한다어느 경우도 겹치지 않고 빠지지도 않게 나누면 각 경우의 개수를 그냥 더하면 된다.
왜?
각뿔과 각기둥은 면의 목록이 완전히 다르므로, 하나의 개수 목록이 오직 한 입체를 가리킨다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
2STEP 2
완성된 전개도에 면이 몇 개 필요한지 세기
둘 다 면이 5개 필요해 하나씩 모자랍니다.
1+4 = 5, 5-4 = 1; 2+3 = 5, 5-4 = 1
면의 수를 세는 일은 간단한 뺄셈인데, 이것만으로도 '전개도를 완성하라'라는 큰 문제가 '이 면 하나를 어디에 놓을까'라는 훨씬 작은 문제로 줄어듭니다.
6.G.A.4Identify Subproblems3STEP 3
(1) 빠진 삼각형의 크기 알아내기
(1)에 빠진 것은 삼각형입니다.
밑면의 어느 변이 아직 비어 있는지만 알면 빠진 면은 짐작할 것도 없습니다. 마주 보는 변에 이미 그려진 삼각형을 그대로 옮겨 그리면 됩니다.
2.G.A.1Draw A Diagram4STEP 4
(1) 그 삼각형을 붙일 수 있는 자리 모두 적기
붙일 수 있는 자리는 세 곳입니다.
붙일 수 있는 곳 3곳: 직사각형의 위쪽 변, 왼쪽 삼각형의 위쪽 빗변, 오른쪽 삼각형의 위쪽 빗변
길이가 맞는 변을 모두 훑는 대신 빠진 면이 어떤 면들과 맞닿는지를 적어 보는 것이 요령입니다. 그래야 자리를 빠뜨리지도 않고, 접으면 안 되는 자리가 슬쩍 끼어들지도 않습니다.
6.G.A.4Make A Systematic List5STEP 5
(2) 빠진 직사각형의 크기 알아내기
(2)에 빠진 것은 직사각형입니다.
각기둥의 옆면은 모두 같은 높이를 가집니다. 그러니 그림에서 읽어 낼 것은 밑면 삼각형의 세 변 가운데 아직 덮이지 않은 변이 어느 것인가 하나뿐입니다.
2.G.A.1Draw A Diagram6STEP 6
(2) 그 직사각형을 붙일 수 있는 자리 모두 적기
붙일 수 있는 자리는 네 곳입니다.
붙일 수 있는 곳 4곳: 가운데 직사각형의 아래, 위쪽 직사각형의 위, 두 삼각형의 아래쪽 변
옆면들이 이루는 고리를 순서대로 따라가면 빠진 면이 어느 변들을 맡아야 하는지 정확히 알 수 있습니다. 그러면 보기에만 그럴듯한 자리에 잘못 붙이는 일이 없습니다.
6.G.A.4Make A Systematic List7STEP 7
각각 하나씩 그려 넣고 접어서 확인하기
하나씩 그려 접어 보면 제대로 닫힙니다.
오려서 실제로 접어 보는 것이 가장 정직한 검사입니다. 면들이 겹치지 않고 만나면서 빈 구멍도 남지 않는다면 전개도가 맞습니다.
6.G.A.4Create A Physical Representation정답
삼각형 1개, 직사각형 1개
5 − 4 = 1
완성된 그림의 면을 세어 봅니다. (1)은 직사각형 1개와 삼각형 4개로, 밑면이 직사각형인 사각뿔에 필요한 그대로입니다. (2)는 삼각형 2개와 직사각형 3개로, 삼각기둥에 필요한 그대로입니다. 두 면이 만나는 변은 모두 길이를 맞추어 이었으니 너무 짧거나 너무 긴 변에 붙인 곳이 없고, 앞에서 적어 둔 어느 자리에 그리더라도 새 면이 빈 종이 위에 놓이므로 면이 면을 덮는 일도 없습니다. 종이에 옮겨 접어 보면 두 입체가 모두 빈틈 없이 닫히는데, 이것은 면의 수를 세는 것만으로는 얻을 수 없는 확인입니다.
핵심 정리
직사각형과 삼각형이 각각 몇 개인지부터 세어 보세요. 면의 목록만으로도 각뿔인지 각기둥인지 알 수 있고, 그다음에는 빠진 면 하나만 찾으면 됩니다.
- 면을 종류별로 나누어 입체의 이름 정하기
- 완성된 전개도에 면이 몇 개 필요한지 세기
- (1) 빠진 삼각형의 크기 알아내기
- (1) 그 삼각형을 붙일 수 있는 자리 모두 적기
- (2) 빠진 직사각형의 크기 알아내기
- (2) 그 직사각형을 붙일 수 있는 자리 모두 적기
- 각각 하나씩 그려 넣고 접어서 확인하기