문제
원뿔의 겉넓이
원뿔의 전개도가 그려져 있습니다. 위쪽 부채꼴이 옆면, 아래쪽 원이 밑면이 됩니다. 부채꼴의 반지름은 9 cm, 밑면인 원의 반지름은 3 cm입니다. 부채꼴의 중심각을 구합니다.
사고력 · 초6-2 최단거리와 겉넓이
내 답
조심 두 반지름을 바로 견주고 싶지만 맞닿는 것은 호와 밑면의 둘레입니다.
풀이 과정
전략 직접 만져보기 — 두 조각을 오려서 실제로 원뿔을 만들어 보면 답의 실마리가 손에 잡힙니다. 부채꼴의 굽은 변을 밑면인 원의 가장자리에 빙 둘러 붙이려면 그 두 곡선의 길이가 같은 수밖에 없으니까요. 이 한 문장이 각을 묻는 문제를 길이를 묻는 문제로 바꿔 줍니다. 길이는 얼마든지 계산할 수 있고요. 그다음에는 부채꼴을 정면으로 상대하지 않고 더 쉬운 질문을 먼저 던집니다. 반지름이 9 cm인 원 전체의 둘레는 얼마인가? 부채꼴의 호가 그 둘레의 몇 분의 몇인지만 알아내면, 중심각도 360°의 꼭 그만큼입니다.
1STEP 1
접어 보면 무엇이 정해지는지 알아보기
접으면 호가 밑면의 둘레와 맞닿습니다.
(부채꼴의 호의 길이) = (밑면인 원의 둘레)
이 문제의 핵심은 이 한 가지뿐이고, 종이로 해 보면 눈에 바로 보입니다. 호가 너무 길면 옆면이 우글거리고 너무 짧으면 틈이 생기니까요.
6.G.A.4Create A Physical Representation접기는 부채꼴의 굽은 변이 밑면 원의 둘레와 정확히 같은 길이여야 함을 강요한다.
왜?
종이를 마는 것은 그것을 늘이지 않으므로, 굽은 변은 밑면을 감싸면서도 길이를 그대로 지킨다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
둘레는 빈틈도 겹침도 없이 맞물리므로, 두 길이가 같아야 하며 그러지 않으면 원뿔이 우그러지거나 틈이 생긴다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
2STEP 2
밑면인 원의 둘레 재기
밑면의 둘레는 18.84 cm입니다.
3 × 2 × 3.14 = 18.84 cm
원의 둘레도 cm 단위의 길이라서 맞대어야 할 호와 같은 종류의 양입니다. 같은 종류라야 등호로 이을 수 있습니다.
7.G.B.4Analyze The Units3STEP 3
더 쉬운 문제 먼저 - 반지름 9 cm인 원의 둘레
반지름 9 cm인 원 전체는 56.52 cm입니다.
9 × 2 × 3.14 = 56.52 cm
전체를 먼저 구하고 '그중 얼마가 필요한가'를 묻는 편이, 조각을 곧바로 만들어 내려고 애쓰는 것보다 훨씬 쉽습니다.
7.G.B.4Solve An Easier Related Problem4STEP 4
부채꼴은 원 전체의 얼마만큼일까
부채꼴은 원 전체의 1/3입니다.
18.84/56.52 = 1/3 → (중심각)/360° = 1/3
호의 길이와 중심각은 정비례합니다. 각을 두 배로 하면 호도 두 배가 되니, 한쪽 비를 다른 쪽 비로 그대로 바꿔 놓아도 됩니다.
7.RP.A.2Look For A Pattern5STEP 5
한 바퀴의 1/3만큼 벌어진 각
한 바퀴의 1/3이라 120도입니다.
(중심각) = 360° × 1/3 = 120°
한 바퀴가 360°이니 그 1/3은 360 ÷ 3입니다. 각도기를 댈 필요가 없습니다.
4.MD.C.5Draw A Diagram6STEP 6
원주율 3.14는 사실 쓰이지 않았다
두 반지름의 비만으로도 120도가 나옵니다.
(중심각) = 360° × (밑면인 원의 반지름)/(모선의 길이) = 360° × 3/9 = 120°
두 길이가 똑같은 방식으로 원주율을 품고 있으니 원주율은 공통인수로 약분됩니다. 계산기를 집어 들기 전에 약분할 곳이 없는지 먼저 보라는 이야기입니다.
7.RP.A.2Analyze The Units정답
120 도
360 × 3 ÷ 9 = 120
120°는 0°와 360° 사이에 있으니 중심각이 될 자격이 있고, 한 바퀴의 1/3이라는 점도 그림과 잘 맞습니다. 그림 속 부채꼴은 사분원보다는 확실히 넓고 반원에는 한참 못 미치니까요. 길이로도 직접 확인해 봅니다. 반지름 9 cm, 중심각 120°인 부채꼴의 호는 9 × 2 × 3.14 × 120/360 = 56.52 ÷ 3 = 18.84 cm이고, 밑면인 원의 둘레는 3 × 2 × 3.14 = 18.84 cm입니다. 두 값이 같으니 전개도는 실제로 딱 맞게 접힙니다. 지름길도 같은 답을 냅니다. 360 × 3/9 = 120이니까요. 크기 감각으로도 맞습니다. 밑면의 반지름이 모선의 1/3이니 부채꼴도 원의 1/3이어야 하고, 밑면이 커지면 각도 커지며, 밑면의 반지름이 모선과 같아지면 360°가 통째로 필요해져서 원뿔이 아니라 납작한 원판이 되어 버립니다.
핵심 정리
펼친 부채꼴의 굽은 변이 밑면인 원을 정확히 한 바퀴 감싸야 하니, 중심각은 360° × (밑면인 원의 반지름) ÷ (모선의 길이)입니다. 원주율은 약분되어 사라집니다.
- 접어 보면 무엇이 정해지는지 알아보기
- 밑면인 원의 둘레 재기
- 더 쉬운 문제 먼저 - 반지름 9 cm인 원의 둘레
- 부채꼴은 원 전체의 얼마만큼일까
- 한 바퀴의 1/3만큼 벌어진 각
- 원주율 3.14는 사실 쓰이지 않았다
이어서 풀어볼까요