문제
각기둥과 각뿔의 전개도의 가짓수
밑면이 직각삼각형인 삼각기둥의 전개도가 그려져 있습니다. 면 하나가 빠져 있습니다. 뒤집어 겹치는 전개도는 같은 것으로 셉니다. 빠진 면을 그려 넣는 방법을 모두 구합니다.
사고력 · 초6-1 전개도의 활용
내 답
조심 길이만 맞으면 붙일 수 있을 것 같지만 접었을 때 겹치는 자리는 안 됩니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 생각나는 대로 하나씩 그려 보다가 더 안 떠오르면 그만두는 방식은 꼭 하나씩 빠뜨립니다. 그래서 순서를 바꿉니다. 먼저 빠진 면이 정확히 어떤 면인지 밝히고, 그 면이 입체에서 어떤 면들과 맞닿아 있는지 적어 봅니다. 맞닿는 면 하나가 곧 그림의 둘레에 있는 붙일 자리 하나입니다. 이렇게 만든 목록은 만드는 방식 자체가 빠짐없음을 보장합니다. 뒤집기 규칙은 그다음에 씁니다. 완성한 그림들을 둘씩 견주어 보되, 무턱대고 반으로 나누지 말고 뒤집어도 그대로인 그림이 어느 것인지를 따로 확인합니다.
1STEP 1
어떤 면이 빠졌는지 알아내기
면이 5개여야 하므로 빠진 것은 직사각형 1개입니다.
2 + 3 = 5 (면), 5 - 4 = 1 (빠진 면)
이미 그려진 직사각형을 삼각형의 어느 변 위에 서는 면인지 하나씩 짝지어 보면, 짝이 없는 변이 딱 하나 남습니다. 그 변이 빠진 면의 이름과 가로세로 길이를 한꺼번에 알려 줍니다.
6.G.A.4Identify Subproblems2STEP 2
빠진 직사각형이 맞닿는 면 적어 보기
그 직사각형이 맞닿는 면을 적어 둡니다.
전개도는 입체의 모서리 중 일부는 붙여 두고 나머지는 잘라 편 것입니다. 그러니 빠진 면을 붙일 수 있는 자리는 그 면이 입체에서 실제로 가지고 있는 모서리뿐입니다.
6.G.A.4Identify Subproblems3STEP 3
그림에서 그 네 자리 찾기
전개도에서 붙일 수 있는 자리는 네 곳입니다.
4 (자리)
둘레를 차례대로 돌면서 비어 있는 변마다 빠진 면의 두 길이와 맞는지 견주는 방식은, 목록이 다 찼다는 것을 눈으로 확인할 수 있습니다. 생각나는 대로 하나씩 떠올리는 방식과는 다르지요.
6.G.A.4Draw A Diagram4STEP 4
붙일 수 있어 보이지만 안 되는 변 걸러 내기
그중 하나는 접으면 겹쳐서 안 됩니다.
어떤 변이 접는 선이 되려면 그 변을 사이에 둔 두 면의 변 길이가 같아야 합니다. 길이만 견주어도 엉뚱한 자리는 그려 보기 전에 걸러집니다.
6.G.A.4Make A Systematic List5STEP 5
네 그림에 뒤집기 규칙 적용하기
뒤집어 겹치는 것끼리 한 가지로 셉니다.
그림을 얇은 종이에 대고 베낀 다음 그 종이를 뒤집어 보는 것이 바로 뒤집기 규칙입니다. 어느 두 장이 서로 포개지고 어느 장이 자기 자신에 포개지는지 눈으로 볼 수 있습니다.
4.G.A.3Create A Physical Representation서로 거울상인 두 그림은 같은 전개도이므로, 각 짝에서 하나는 지운다.
왜?
전개도를 뒤집어도 모든 면과 접는 선이 그대로이므로, 뒤집힌 그림은 같은 입체로 똑같이 접힌다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
그림을 거울 짝으로 묶으면 각각이 정확히 한 무리에 들어가므로, 무리를 세면 정말로 다른 전개도가 세어진다.
🧱겹치지 않는 경우는 더한다어느 경우도 겹치지 않고 빠지지도 않게 나누면 각 경우의 개수를 그냥 더하면 된다.
6STEP 6
서로 다른 전개도 세기
서로 다른 전개도는 3가지입니다.
1 + 1 + 1 = 3
'뒤집어서 같으면 한 가지'라는 규칙을 안전하게 쓰려면, 제자리에 있는 그림과 서로 자리를 바꾸는 그림을 따로 세어야 합니다. 2로 나누는 셈은 제자리에 있는 그림이 하나도 없다고 슬쩍 가정하는 것입니다.
6.G.A.4Make A Systematic List7STEP 7
세 가지를 그리고 접어 보기
세 가지를 접어 보면 모두 닫힙니다.
그림이 정말 전개도인지 가리는 가장 정직한 시험은 접어 보는 것입니다. 세 가지 모두 같은 삼각기둥이 되고, 다만 어느 모서리를 잘라 폈느냐만 다릅니다.
6.G.A.4Create A Physical Representation정답
3 가지
5 − 4 = 1
완성한 그림마다 면이 5개입니다. 합동인 직각삼각형 2개와 가로가 같은 직사각형 3개, 곧 삼각형의 세 변에 하나씩이니 삼각기둥의 면 구성 그대로입니다. 새로 맞붙은 변도 짝과 길이가 같습니다. 높이 쪽 변끼리는 약 6, 짧은 변끼리는 약 3으로 맞습니다. 네 직사각형 모두 빈 종이 위에 그려지므로 겹치는 곳이 없고, 접으면 기둥이 닫힙니다. 개수도 말이 됩니다. 자리는 4곳이고 그중 뒤집기로 겹치는 짝이 하나 줄어드니 3가지가 되어야 하는데, 3은 자리 수 4보다 작고 뒤집어도 그대로인 2가지보다는 큽니다.
핵심 정리
붙일 자리를 먼저 하나도 빠짐없이 적고, 그다음에 뒤집었을 때 서로 바뀌는 그림과 제자리인 그림을 갈라 보세요. 무조건 반으로 나누면 안 됩니다.
- 어떤 면이 빠졌는지 알아내기
- 빠진 직사각형이 맞닿는 면 적어 보기
- 그림에서 그 네 자리 찾기
- 붙일 수 있어 보이지만 안 되는 변 걸러 내기
- 네 그림에 뒤집기 규칙 적용하기
- 서로 다른 전개도 세기
- 세 가지를 그리고 접어 보기
이어서 풀어볼까요