문제
농도
소금물의 농도는 소금까지 포함한 소금물 전체에서 소금이 차지하는 몫입니다. (1) 소금물 125 g에 소금 25 g이면 농도는 몇 %인가, (2) 농도 15 %인 소금물 200 g에 소금은 몇 g인가, (3) 농도 10 %인 소금물에 소금 5 g이면 소금물은 몇 g인가. 세 물음의 답을 각각 구합니다.
사고력 · 초6-1 비와 비율 (1)
내 답
조심 소금을 물의 양으로 나누고 싶지만 나누는 것은 소금물 전체입니다.
풀이 과정
전략 단위 살펴보기 — 여기 등장하는 양은 소금의 그램 수, 소금물의 그램 수, 그리고 백분율 이렇게 셋인데 이 가운데 실제 '양'인 것은 둘뿐입니다. 단위를 살피면 셋이 헷갈리지 않고, 소금물 전체 대신 물의 양으로 나누는 가장 흔한 실수도 막을 수 있습니다. 그리고 붙잡고 갈 만한 양은 소금의 무게입니다. 소금은 그릇 안에 실제로 들어 있는 알갱이라서 물을 더 붓든 끓여 날리든 그대로지만, 농도는 비율일 뿐이라 물이 움직이는 순간 함께 흔들립니다. 그래서 세 물음 모두 소금의 그램 수를 먼저 겨냥하고, 백분율은 그 소금이 전체의 얼마만큼인지 알려 주는 안내문으로 다룹니다. 소금물을 100등분한 띠로 그리면 백분율이 눈에 보이고, 전체가 빠져 있는 (3)에서는 같은 관계를 거꾸로 되돌려 풉니다.
1STEP 1
세 가지 양과 그 단위를 정리하기
세 가지 양은 소금, 소금물, 농도입니다.
(소금물의 농도)(%) = (소금의 양)/(소금물의 양) × 100
계산에 들어가기 전에 각 자리의 단위부터 불러 두면, 물 100 g이 아니라 소금물 125 g으로 나누게 됩니다. 말로만 들으면 둘 다 그럴듯하지만 정의에 맞는 것은 하나뿐입니다.
6.RP.A.1Analyze The Units2STEP 2
변하지 않는 양이 무엇인지 알아두기
관계식을 세 방향으로 적어 둡니다.
(소금의 양) = (소금물의 양) × (농도)/100
농도는 섞인 상태를 설명하는 말일 뿐 그릇 안에 들어 있는 물질이 아닙니다. 그러니 물이 바뀌어도 살아남는 것은 백분율이 아니라 소금의 그램 수입니다.
6.RP.A.1Analyze The Units어느 양이 그대로 남는지를 알아채는 일이 문제 전체를 다룰 수 있게 만든다.
왜?
소금물은 소금과 물을 합친 것이므로, 한 부분이 그대로인 채 다른 부분이 달라지면 전체가 정해진 방식으로 달라진다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
농도는 소금을 전체와 견준 것이므로, 둘 가운데 달라질 수 있는 쪽에 맞추어 함께 움직인다.
🧱비례하는 양은 함께 커진다두 양이 일정한 비를 유지하면 하나를 두 배 하면 다른 하나도 두 배가 되므로, 아는 비로 모르는 비를 대신할 수 있다.
3STEP 3
(1) 소금을 소금물 전체로 나누기
(1)은 소금을 전체로 나누어 20 %입니다.
25/125 × 100 = 1/5 × 100 = 20 %
분수를 먼저 약분해 두면 백분율이 그림으로 보입니다. 다섯 칸 중 한 칸은 누구나 그릴 수 있는 그림이고, 긴 나눗셈이 필요 없습니다.
6.RP.A.3Draw A Diagram4STEP 4
(2) 전체의 몇 %인지 계산해 소금 구하기
(2)는 전체의 15 %라 소금은 30 g입니다.
200 × 15/100 = 30 g
200 g은 100 g 덩이 두 개이므로, 백분율을 '100 g마다 몇 g'으로 읽고 두 배만 하면 됩니다. 그래서 이 물음에는 식을 세울 것도 없습니다.
7.RP.A.3Draw A Diagram5STEP 5
(3) 거꾸로 되돌려 전체 구하기
(3)은 거꾸로 되돌려 전체가 50 g입니다.
(소금물) × 10/100 = 5 → (소금물) = 5/10 × 100 = 50 g
부분과 백분율에서 전체를 찾는 일은, 전체와 백분율에서 부분을 찾는 일과 똑같은 한 걸음입니다. 곱셈이 나눗셈으로 바뀌었을 뿐입니다.
7.RP.A.3Work Backwards6STEP 6
세 답을 정의에 다시 넣어 확인하기
정의에 다시 넣어 보면 세 답이 모두 맞습니다.
30/200 × 100 = 15 %, 5/50 × 100 = 10 %
답을 만들어 낸 정의가 그대로 검산 도구가 됩니다. 세 물음이 사실은 같은 식에서 빈칸의 자리만 바뀐 것이기 때문입니다.
6.RP.A.3Analyze The Units정답
20 %, 30 g, 50 g
25 ÷ 125 = 0.2
단위가 제자리에 놓였습니다. (1)은 백분율이고 (2)와 (3)은 그램으로 재는 무게이니, 각 물음이 요구한 것과 맞습니다. 농도는 모두 0 %와 100 % 사이에 있고, 세 소금물 모두 소금이 자기를 품은 소금물보다 가볍습니다. 125 g 속의 25 g, 200 g 속의 30 g, 50 g 속의 5 g이 그렇습니다. 크기가 움직인 방향도 맞습니다. (3)은 전체를 물었고 소금 5 g의 10배인 50 g이 나왔는데, 농도 10 %가 뜻하는 바가 바로 그것입니다. 만약 나눗셈을 거꾸로 했다면 전체가 소금보다 작게 나왔을 것이고, 그것은 있을 수 없는 일입니다.
핵심 정리
소금은 그대로 남아 있는 쪽이니 소금의 그램 수를 붙잡고 가세요. 그러면 농도가 나머지를 다 알려 줍니다.
- 세 가지 양과 그 단위를 정리하기
- 변하지 않는 양이 무엇인지 알아두기
- (1) 소금을 소금물 전체로 나누기
- (2) 전체의 몇 %인지 계산해 소금 구하기
- (3) 거꾸로 되돌려 전체 구하기
- 세 답을 정의에 다시 넣어 확인하기
이어서 풀어볼까요