문제
비와 비율
6학년 학생 모두에게 공책을 한 권씩 나누어 줍니다. 60 %는 벌써 받았습니다. 아직 기다리는 학생은 24명입니다. 6학년 학생이 모두 몇 명인지 구합니다.
사고력 · 초6-1 비와 비율 (1)
내 답
조심 24명이 60 %인 것 같지만 그들은 아직 못 받은 40 %입니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 문제가 알려 준 유일한 수 24는 정작 비율이 붙어 있지 않은 쪽에 달려 있습니다. 그래서 첫 번째 할 일은 24명이 나머지 40 %라는 것을 알아채는 것입니다. 6학년 전체를 띠 하나로 그리고 10 %씩 열 칸으로 잘라 두면 그것이 눈에 보일 뿐 아니라 셀 수 있게 됩니다. 여섯 칸은 색칠되고, 남은 네 칸에 24명이 들어 있으니 한 칸은 6명입니다. 그다음에는 평소와 같은 관계를 거꾸로 따라갑니다. 기준량에 비율을 곱해 비교하는 양을 얻는 대신, 비교하는 양을 그 비율로 나누어 기준량을 얻는 것입니다. 마지막으로 얻은 수를 문제의 두 문장에 넣어 확인합니다. 여기서 가장 흔한 실수가 24를 남의 비율로 나누는 것이기 때문입니다.
1STEP 1
24명에게 붙는 비율 찾기
24명은 전체의 40 %입니다.
100 % - 60 % = 40 %
전체에 대한 비율은 띠 하나를 나눈 부분들처럼 움직입니다. 한 부분이 띠의 얼마를 덮는지 알면 나머지는 100 %에서 남은 만큼입니다.
6.RP.A.3Work Backwards2STEP 2
6학년 전체를 열 칸짜리 띠로 그리기
전체를 열 칸짜리 띠로 그립니다.
4칸 = 40 % = 24명
전체를 똑같은 열 조각으로 잘라 두면 비율이 셀 수 있는 것으로 바뀝니다. 60 %도 40 %도 마침 칸 경계에 딱 떨어지므로 칸을 다시 쪼갤 일이 없습니다.
6.RP.A.3Draw A Diagram3STEP 3
한 칸을 센 다음 열 칸을 세기
네 칸이 24명이라 한 칸은 6명입니다.
24 ÷ 4 = 6, 6 × 10 = 60
똑같이 나눈 한 칸의 값을 먼저 구하고 그것으로 전체를 다시 세우는 방법은, 물건값이나 요리 재료를 따질 때 쓰는 것과 똑같습니다. 여기서는 그 한 칸이 학년의 10 %일 뿐입니다.
6.RP.A.3Draw A Diagram한 칸을 세고 열 칸을 모두 세면 아는 부분에서 학년 전체가 되살아난다.
왜?
막대는 똑같은 열 칸으로 잘려 있으므로, 한 칸은 전체를 똑같이 나눈 열 몫 가운데 하나다.
🧱분수는 하나를 똑같이 나눈 몫아래 수는 하나를 똑같이 몇 조각으로 잘랐는지를, 위 수는 그중 몇 조각인지를 말한다 — 그래서 같은 크기 조각은 세기만 하면 더해진다.
왜?
한 몫에 10을 곱하는 것은 열로 나눈 일을 되돌리므로, 전체가 정확히 되찾아진다.
🧱역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
4STEP 4
같은 과정을 나눗셈 한 번으로 하기
열 칸이면 60명입니다.
(6학년 학생 수) × 0.4 = 24 → (6학년 학생 수) = 24 ÷ 0.4 = 60
0.4로 나눈다는 것은 24 안에 0.4가 몇 번 들어가는지 묻는 일입니다. 답 60이 24보다 크게 나온 것이 맞습니다. 학년 전체는 아직 기다리는 학생들보다 반드시 많아야 하니까요.
6.NS.B.3Work Backwards5STEP 5
60명을 두 문장에 모두 넣어 확인하기
60명을 문장에 넣어도 맞습니다.
60 × 0.6 = 36, 60 - 36 = 24
수마다 그것이 가리키는 무리를 짝지어 두는 것이 이 문제의 유일한 안전장치입니다. 비율은 무엇에 대한 비율인지 말하기 전까지는 아무 뜻도 없습니다.
6.RP.A.3Guess And Check정답
60 명
24 ÷ 0.4 = 60
답은 학생 수를 세는 것이므로 자연수여야 하는데 60은 자연수입니다. 또 기다리는 24명은 학년의 일부일 뿐이므로 답은 24보다 커야 하는데 60은 넉넉히 큽니다. 이 답이 말하는 갈림, 곧 공책을 받은 36명과 받지 못한 24명은 더하면 60이 되고, 36은 60의 정말 60 %입니다. 36/60 = 6/10이기 때문입니다. 6학년이 60명이라는 것도 두세 학급쯤 되는 자연스러운 규모입니다.
핵심 정리
비율이 붙어 있지 않은 쪽의 수가 주어졌다면 먼저 그 무리의 비율부터 알아내세요. 그러고 나면 전체는 그 수를 자기 비율로 나누기만 하면 나온답니다!
- 24명에게 붙는 비율 찾기
- 6학년 전체를 열 칸짜리 띠로 그리기
- 한 칸을 센 다음 열 칸을 세기
- 같은 과정을 나눗셈 한 번으로 하기
- 60명을 두 문장에 모두 넣어 확인하기
이어서 풀어볼까요