문제
이집트의 분배 방식
똑같이 생긴 둥근 빵 3개를 네 사람이 나눕니다. 먼저 크기도 모양도 같은 가장 큰 조각으로 잘라 모두에게 하나씩 줍니다. 남은 것이 있으면 같은 방법을 되풀이합니다. 어떻게 잘라 나누어야 하는지 구합니다.
사고력 · 초5-1 이집트 분수
내 답
조심 빵마다 네 조각으로 자르면 몫은 맞지만 가장 큰 조각이 아니라 이 방식이 아닙니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 이 문제의 답 자체가 그림입니다. 원 세 개 위에 선을 긋는 것이니 그림 그리기가 중심 도구입니다. 다만 선을 긋기 전에 더 쉬운 질문부터 매듭짓습니다. 한 사람이 받아야 할 몫은 얼마인가. 이것은 3 을 4 로 나누는 것뿐입니다. 목표를 정해 두고 나면 이집트 방식을 그림 위에서 한 단계씩 따라갑니다. 지금 네 사람 모두에게 줄 수 있는 가장 큰 똑같은 조각은 무엇이고, 그러고 나면 무엇이 남는가. 진짜 빵을 자르는 장면을 머릿속에 그려 보면 규칙을 대충 넘기지 않게 됩니다. 양만 같은 것이 아니라 조각의 모양까지 서로 맞아야 한다는 조건이 저절로 눈에 들어오기 때문입니다.
1STEP 1
한 사람의 몫 정하기
한 사람의 몫은 3 ÷ 4 = 3/4입니다.
3 ÷ 4 = 3/4
칼을 대기 전에 '한 사람이 얼마를 받나'를 먼저 정해 두면 자르기가 맞는지 견줄 잣대가 생깁니다. 3 을 4 로 나누는 것은 5학년이면 분수로 바로 읽어 낼 수 있는 나눗셈입니다.
5.NF.B.3Solve An Easier Related Problem칼을 대기 전에 한 사람의 몫을 먼저 구하면, 자르기를 견주어 볼 목표가 생긴다.
왜?
빵 세 개를 네 사람에게 똑같이 나눈다는 것은, 빵 하나를 넷으로 자른 조각 가운데 세 개씩 갖는다는 뜻이다.
🧱분수는 하나를 똑같이 나눈 몫아래 수는 하나를 똑같이 몇 조각으로 잘랐는지를, 위 수는 그중 몇 조각인지를 말한다 — 그래서 같은 크기 조각은 세기만 하면 더해진다.
왜?
빵 세 개는 온전한 네 덩이로 갈라지지 않으므로 나눔은 부분을 남기게 되며, 그 부분에 이름을 붙이는 것이 분수다.
🧱나머지가 있는 나눗셈어떤 수든 같은 크기 묶음 몇 개와 나머지로 갈라지고, 나머지는 언제나 묶음 크기보다 작다.
2STEP 2
얼핏 떠오르는 자르기가 왜 이집트식 공평이 아닌지 보기
네 조각씩 자르면 몫은 맞지만 조각이 작습니다.
3/4 = 1/4+1/4+1/4
접시 네 개에 조각을 실제로 올려놓는 장면을 그려 보면 금방 보입니다. 양이 같은 것과 몫이 같은 것은 다른 이야기이고, 이집트 방식이 붙들고 있는 것이 바로 그 차이입니다.
4.NF.B.3Create A Physical Representation3STEP 3
첫 번째 단계 - 모두에게 돌아가는 가장 큰 조각
먼저 빵 두 개를 반으로 잘라 1/2씩 줍니다.
빵 2 개 → 2 × 2 = 4 개의 1/2, 4 ÷ 4 = 한 사람에게 1/2 씩
네 사람에게 돌아가려면 그 조각이 빵 속에 네 번 들어가야 합니다. 반쪽은 빵 두 개로 그 조건을 정확히 채우고, 버려지는 부분도 없습니다.
3.NF.A.1Draw A Diagram4STEP 4
두 번째 단계 - 남은 것을 다시 나누기
남은 빵 하나를 넷으로 잘라 1/4씩 줍니다.
빵 1 개 → 4 개의 1/4, 4 ÷ 4 = 한 사람에게 1/4 씩
남은 것을 크기만 작아진 새 나누기 문제로 다시 보는 것, 이것이 이집트 방식을 남는 것이 없을 때까지 되풀이할 수 있게 해 주는 장치입니다.
3.NF.A.1Draw A Diagram5STEP 5
한 사람의 조각을 모두 더해 보기
한 사람의 몫은 1/2 + 1/4 = 3/4입니다.
1/2+1/4 = 2/4+1/4 = 3/4
1/2 을 2/4 로 고쳐 쓰면 두 조각의 단위가 같아져서 그냥 세면 됩니다. 그 합이 목표였던 3/4 과 맞아떨어지니 자르기가 옳았다는 증거가 됩니다.
4.NF.A.1Draw A Diagram6STEP 6
빵이 하나도 새지 않았는지 확인하기
네 사람 몫을 더하면 빵 3개로 맞습니다.
4 × 3/4 = 12/4 = 3
모두의 조각을 다시 모아 처음의 빵 3 개가 되는지 세어 보는 것은 완전한 결산입니다. 빵을 흘렸거나 두 번 세었다면 이 합이 3 이 되지 않습니다.
5.NF.B.3Solve An Easier Related Problem정답
1/2 + 1/4 씩
1/2 + 1/4 = 3/4
한 사람의 몫은 빵 한 개의 3/4 로, 빵 한 개보다 적습니다. 빵 3 개를 네 사람이 나눠야 하니 당연히 그래야 합니다. 그러면서도 반 개보다는 많은데, 빵 3 개는 빵 4 개의 절반보다 훨씬 많으니 이것도 앞뒤가 맞습니다. 네 몫을 합하면 4 × 3/4 = 3 으로 있던 빵과 정확히 같아, 사라진 빵도 없고 없던 빵이 생기지도 않았습니다. 네 사람이 모두 1/2 한 조각과 1/4 한 조각이라는 같은 모양을 받았으니 양만 같은 것이 아니라 이집트식으로도 공평합니다. 게다가 3/4 을 1/2+1/4 로 적은 것은 서로 다른 단위분수 둘의 합인데, 이것이 바로 이집트 사람들이 분수를 적던 방식입니다.
핵심 정리
모두가 하나씩 가질 수 있는 가장 큰 조각을 먼저 돌리고, 남은 것을 같은 방법으로 또 나눕니다. 빵 3 개를 네 사람이 나누면 반 개에 1/4 개씩입니다.
- 한 사람의 몫 정하기
- 얼핏 떠오르는 자르기가 왜 이집트식 공평이 아닌지 보기
- 첫 번째 단계 - 모두에게 돌아가는 가장 큰 조각
- 두 번째 단계 - 남은 것을 다시 나누기
- 한 사람의 조각을 모두 더해 보기
- 빵이 하나도 새지 않았는지 확인하기
이어서 풀어볼까요