문제
정다면체의 정의와 가짓수
정다면체에 대한 설명 다섯 개: 종류는 5가지뿐이다, 모든 면은 합동인 정다각형이다, 한 꼭짓점에 모이는 면의 수가 일정하다, 한 꼭짓점에 모인 각의 합이 360도보다 작다, 면의 모양은 정삼각형·정사각형·정육각형 3가지뿐이다. 그중 옳지 않은 것이 딱 하나 있습니다. 옳지 않은 설명을 고릅니다.
사고력 · 초6-1 정다면체
내 답
조심 면이 정육각형인 정다면체도 있을 것 같지만 세 개만 모여도 납작해져 만들 수 없습니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 판정이 어려운 ①과 ⑤는 둘 다 '목록이 이것으로 전부다'라고 주장합니다. 그러니 그림에 입체 다섯 개가 있다는 사실은 증거가 되지 못합니다. 그림은 빠진 것이 없음을 보여 줄 수 없으니까요. 그래서 목록을 직접 만들어 보겠습니다. 정다면체의 한 꼭짓점은 두 가지 수로 다 설명됩니다. 면의 모양(변이 몇 개인지)과 그 꼭짓점에 모인 면의 개수이지요. 그래서 면의 모양을 정삼각형, 정사각형, 정오각형, 정육각형, 그 너머까지 차례로 놓고, 각각에 대해 가능한 면의 개수를 모두 360° 기준으로 시험합니다. 각의 크기는 변이 늘수록 커지기만 해서 시험은 금세 끝납니다. 살아남은 것이 곧 정다면체 전부이고, 그 완성된 목록에 다섯 설명을 비춰 보면 됩니다.
1STEP 1
한 꼭짓점에서 무슨 일이 일어나야 하는가
한 꼭짓점에는 면이 셋 이상 모이고 합이 360도보다 작아야 합니다.
3 ≤ (한 꼭짓점에 모인 면의 수) 이고 (한 꼭짓점에 모인 면의 수) × (한 내각) ＜ 360°
한 점 둘레의 각은 더할 수 있고 한 바퀴는 360°라는 것, 이것이 전부입니다. 한 바퀴에 조금 모자라면 부채꼴 모양의 빈틈이 남는데, 그 빈틈을 오므려 붙이는 것이 평평한 종이를 입체의 꼭짓점으로 세우는 일입니다.
4.MD.C.7Create A Physical Representation2STEP 2
정다각형의 한 내각 구하기
정다각형의 한 각은 60, 90, 108, 120 …입니다.
정삼각형 60°, 정사각형 90°, 정오각형 108°, 정육각형 120°, 정칠각형 128 4/7°, …
빌려 쓰는 것은 삼각형 세 각의 합이 180°라는 사실 하나뿐입니다. 다각형을 삼각형으로 쪼개면 어려운 물음 하나가 쉬운 사실 여러 번으로 바뀝니다.
8.G.A.5Solve An Easier Related Problem3STEP 3
면이 정삼각형(60°)일 때: 세 가지가 된다
정삼각형이면 3, 4, 5개가 모일 수 있습니다.
3 × 60 = 180 ✓ 4 × 60 = 240 ✓ 5 × 60 = 300 ✓ 6 × 60 = 360 (평평해짐)
한 각이 60°인 줄만 알면, 개수 하나를 시험하는 데 곱셈 한 번과 360과의 비교 한 번이면 끝납니다. 입체에 대한 물음을 초등 곱셈이 결판냅니다.
4.NBT.B.5Make A Systematic List4STEP 4
면이 정사각형(90°)일 때: 한 가지만 된다
정사각형이면 3개만 됩니다.
3 × 90 = 270 ✓ 4 × 90 = 360 (평평해짐)
한 점 둘레에 정사각형 넷이 모인 모양은 모눈종이마다 있습니다. 그러니 이 경우가 평평해져서 탈락한다는 것이 눈에 잘 들어옵니다.
4.NBT.B.5Make A Systematic List5STEP 5
면이 정오각형(108°)일 때: 한 가지만 된다
정오각형이면 3개만 됩니다.
3 × 108 = 324 ✓ 4 × 108 = 432 (겹침)
여기서 남는 빈틈은 겨우 36°입니다. 정십이면체가 유난히 공처럼 둥글어 보이는 까닭이 이것입니다. 오므릴 빈틈이 적을수록 꼭짓점이 얕고 입체는 둥글어집니다.
4.NBT.B.5Make A Systematic List6STEP 6
면이 정육각형이거나 그보다 변이 많으면: 하나도 안 된다
정육각형부터는 하나도 안 됩니다.
3 × 120 = 360 (평평해짐) 3 × 128 4/7 = 385 5/7 ＞ 360 (겹침)
무한히 많은 정다각형을 하나씩 다 시험할 필요는 없습니다. 내각은 변이 늘수록 커지기만 하므로, 정육각형이 최소 개수 3개로 이미 한 바퀴를 다 채워 버린 순간 그 뒤의 정다각형은 모조리 탈락입니다.
4.MD.C.7Make A Systematic List정육각형이나 그보다 큰 것으로는 결코 입체의 꼭짓점을 만들 수 없는데, 셋만 모여도 이미 평평한 한 바퀴를 채우기 때문이다.
왜?
입체 꼭짓점의 각들은 한 바퀴에 못 미쳐야 하며, 그러지 않으면 면이 접히지 않고 평평하게 누워 버린다.
🧱한 점 둘레의 각은 360도한 점 둘레를 빙 둘러 나란히 놓인 각들은 한 바퀴, 곧 360도를 정확히 채운다.
왜?
육각형부터 위쪽의 모든 다각형이 그 한 가지 검사로 지워지므로, 탐색은 거기서 완전히 끝난다.
🧱나머지를 지우면 남은 하나가 정해진다하나만 남기고 모든 가능성이 지워졌다면 남은 것이 답일 수밖에 없다 — 더 확인할 필요가 없다.
7STEP 7
살아남은 것 모으기: 정확히 다섯 가지
그래서 정다면체는 다섯 가지뿐입니다.
3_정삼각형 + 1_정사각형 + 1_정오각형 = 5
모든 경우를 하나도 건너뛰지 않고 시험해서 만든 목록이므로, 살아남은 것을 세는 일이 곧 완전한 답이 됩니다. 어림짐작이 아니지요. 빠짐없이 나열하기가 '빠진 것이 없다'까지 증명해 주는 순간입니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List8STEP 8
완성된 목록에 다섯 설명 비춰 보기
정육각형을 말한 ⑤가 틀렸습니다.
이제 다섯 설명을 느낌이 아니라 완성된 표 하나에 대고 확인합니다. 틀린 설명은 '정오각형이어야 할 자리에 정육각형'이라는 딱 짚을 수 있는 지점에서 어긋납니다.
1.G.A.1Visualize Spatial Relationships정답
⑤
3 + 1 + 1 = 5
찾아낸 꼭짓점 모양 다섯 가지(정삼각형 3개, 4개, 5개, 정사각형 3개, 정오각형 3개)가 그림 속 다섯 입체와 하나씩 정확히 짝지어지고 남거나 모자라는 것이 없습니다. 그림에 보이는 면의 모양도 정삼각형, 정사각형, 정오각형으로 논증이 허락한 세 가지 그대로입니다. 탈락한 세 경우는 모두 평평한 바닥에서 볼 수 있는 무늬입니다. 정삼각형 6개, 정사각형 4개, 정육각형 3개가 한 점에 모이는 것은 한 가지 정다각형으로 바닥을 빈틈없이 덮는 세 가지 방법인데, 이것은 360°라는 경계선이 제자리에 그어졌다는 좋은 신호입니다. 각의 합도 크기가 그럴듯합니다. 180°, 240°, 270°, 300°, 324°로 모두 한 바퀴 360°보다 작고, 빈틈이 가장 큰 180°가 가장 뾰족한 정사면체의 것, 가장 작은 36°가 가장 둥근 정십이면체의 것인데 그림이 보여 주는 모습과 꼭 맞습니다.
핵심 정리
꼭짓점이 되려면 빈틈이 있어야 합니다. 한 점에 모인 각을 더해서 360°에 닿으면 평평해져 버리지요. 이 규칙 하나로 정다면체는 딱 다섯 가지만 남고, 면은 정삼각형, 정사각형, 정오각형뿐 정육각형은 절대 안 됩니다.
- 한 꼭짓점에서 무슨 일이 일어나야 하는가
- 정다각형의 한 내각 구하기
- 면이 정삼각형(60°)일 때: 세 가지가 된다
- 면이 정사각형(90°)일 때: 한 가지만 된다
- 면이 정오각형(108°)일 때: 한 가지만 된다
- 면이 정육각형이거나 그보다 변이 많으면: 하나도 안 된다
- 살아남은 것 모으기: 정확히 다섯 가지
- 완성된 목록에 다섯 설명 비춰 보기
이어서 풀어볼까요