문제
연역표
세 사람이 연필, 공책, 지우개를 한 개씩 잃어버렸습니다. 같은 물건을 두 사람이 잃어버린 일은 없습니다. 다섯 친구가 저마다 한 가지씩 말합니다. 그 말만으로 누가 무엇을 잃었는지 알 수 있는 경우를 고릅니다.
사고력 · 초6-1 연역적 논리 (1)
내 답
조심 단서가 많을수록 좋을 것 같지만 셋을 말해도 짝짓기가 둘 남기도 합니다.
풀이 과정
전략 격자 논리표 — '누가 무엇을' 하고 묻는데 짝이 하나씩 맞물려 있다면 격자 논리표가 딱 맞습니다. 옆에는 사람 셋, 위에는 물건 셋을 적고 맞으면 ○, 아니면 ×를 칩니다. 같은 빈 표를 다섯 장 그려 놓고 한 장에 한 사람의 말만 옮겨 적습니다. 그러면 하나씩 맞물린다는 규칙이 나머지 일을 알아서 해 줍니다. ○ 하나가 그 줄과 그 칸을 비워 버리고, ×가 둘 있는 줄이나 칸은 남은 자리에 ○를 강요합니다. 표가 다 안 채워지는 말에 대해서는 '막혔다'고만 하지 않겠습니다. 살아남은 짝짓기를 빠짐없이 적어 서로 다른 두 가지를 실제로 보여 주는 것만이 '이 말로는 부족하다'를 정직하게 증명하는 길입니다.
1STEP 1
표를 그리고, 가능한 짝짓기가 여섯 가지뿐임을 확인하기
가능한 짝짓기는 모두 6가지입니다.
3 × 2 × 1 = 6 (가지 짝짓기)
서로 다른 물건 셋을 나누어 주는 방법을 3 × 2 × 1로 세는 것은 묶어 세기 그대로입니다. 가능성이 여섯뿐임을 알고 나면 이 문제의 모든 주장을 말다툼이 아니라 확인으로 끝낼 수 있습니다.
3.OA.A.1Make A Systematic List2STEP 2
표가 스스로 채워지게 하는 두 규칙
한 줄에 표가 하나면 나머지가 지워집니다.
사람 셋과 갈래 셋을 작은 표 하나에 정리하는 일은 자료를 표로 나타내는 기초 활동입니다. 여기에 힘을 실어 주는 것은 하나씩 맞물린다는 규칙인데, 덕분에 표시 하나가 다른 표시들을 공짜로 불러옵니다.
1.MD.C.4Introduce A Variable두 규칙이 표를 스스로 완성시킨다 — 채워진 칸은 그 행과 열을 비우고, 빈자리가 하나 남은 행은 결정된다.
왜?
사람마다 정확히 하나를 가지고 물건마다 정확히 한 사람에게 가므로, 한 번의 짝짓기가 한 행과 한 열을 통째로 쓴다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
왜?
지우고 나서 한 행에 열린 칸이 하나만 남으면 그 칸이 짝일 수밖에 없고, 짐작할 것이 없다.
🧱나머지를 지우면 남은 하나가 정해진다하나만 남기고 모든 가능성이 지워졌다면 남은 것이 답일 수밖에 없다 — 더 확인할 필요가 없다.
3STEP 3
효정: 부족합니다. 짝짓기가 셋이나 남습니다
첫째 말은 짝짓기가 셋 남아 부족합니다.
×가 서로 다른 줄, 서로 다른 세로 칸에 흩어져 있으면 두 규칙 중 어느 것도 작동하지 않습니다. 그래서 남는 경우를 다 적어 보기 전에도 이 표가 멈추리라는 것을 한눈에 알 수 있습니다.
1.MD.C.4Eliminate Possibilities4STEP 4
대헌: 충분합니다. 표가 저절로 다 채워집니다
둘째 말은 표가 저절로 채워집니다.
정민 → 지우개, 승호 → 연필, 미영 → 공책
3칸 × 3칸 표에서 ○ 하나는 × 네 개의 값을 합니다. 그래서 짝 하나를 대놓고 짚어 주는 말은 대개 나머지까지 끝내 줍니다.
1.MD.C.4Introduce A Variable5STEP 5
창호: 부족합니다. 짝짓기가 둘 남습니다
셋째 말은 짝짓기가 둘 남습니다.
아깝게 빗나가는 흔한 꼴입니다. 말의 앞 절반은 진짜 정보인데 뒤 절반은 앞 절반이 이미 정해 놓은 것을 되풀이할 뿐이라, 표의 한쪽 구석 네 칸이 통째로 비어 버립니다.
1.MD.C.4Eliminate Possibilities6STEP 6
재환: 충분합니다. ○ 두 개면 세 번째는 갈 곳이 하나뿐입니다
넷째 말은 표 두 개로 셋째를 밀어냅니다.
정민 → 연필, 승호 → 공책, 미영 → 지우개
세 사람 중 둘이 정해지면 마지막 한 사람에게는 고를 여지가 없습니다. 하나씩 맞물린 짝에서는 마지막 짝을 굳이 알려 줄 필요가 없고, 남은 것을 가져가면 그만입니다.
1.MD.C.4Introduce A Variable7STEP 7
하나: 단서를 셋이나 주고도 부족합니다. 짝짓기가 둘 남습니다
다섯째 말은 단서가 셋인데도 부족합니다.
단서가 많다고 좋은 단서인 것은 아닙니다. 대각선처럼 놓인 × 셋은 사람마다 물건 하나씩만 지워 주고 남은 짝짓기 두 갈래를 그대로 남겨 둡니다. 그래서 확인해야 할 것은 단서의 개수가 결코 아닙니다.
1.MD.C.4Eliminate Possibilities8STEP 8
판정을 모으기
충분한 것은 둘째와 넷째입니다.
효정 3, 대헌 1, 창호 2, 재환 1, 하나 2
다섯 사람을 '살아남은 짝짓기의 개수'라는 수 하나로 '충분함'과 '부족함'으로 갈라 놓으면, 말로 길게 견주던 일이 간단한 세기가 됩니다.
K.MD.B.3Make A Systematic List정답
대헌, 재환
3 × 2 × 1 = 6
모든 판정을 말로만 주장하지 않고 가능한 짝짓기 여섯 가지에 하나씩 대어 보아 확인했습니다. 나온 개수 3, 1, 2, 1, 2는 모두 1 이상 6 이하로 마땅한 범위 안에 있습니다. 스스로 어긋나는 말은 하나도 없으므로 0이 나오는 사람도 없습니다. 통한 두 사람의 말에는 눈에 보이는 공통점이 있습니다. 둘 다 짝 하나를 ○로 대놓고 짚었습니다. 반대로 통하지 않은 세 사람의 말은 ×만으로 되어 있거나, ○ 하나에 이미 정해진 것을 되풀이하는 ×가 붙어 있습니다. 한 가지 더 짚어 두면, 대헌이와 재환이가 이끌어 내는 짝짓기는 서로 다릅니다. 대헌이의 말대로면 정민이는 지우개이고 재환이의 말대로면 정민이는 연필입니다. 이래도 괜찮습니다. 말은 하나씩 따로 따지는 것이지 서로 맞아야 하는 것이 아니기 때문입니다.
핵심 정리
단서가 부족하다고 말할 때는 '막혔어요'가 아니라, 그 단서에 똑같이 들어맞는 서로 다른 답 두 개를 보여 주면 돼요.
- 표를 그리고, 가능한 짝짓기가 여섯 가지뿐임을 확인하기
- 표가 스스로 채워지게 하는 두 규칙
- 효정: 부족합니다. 짝짓기가 셋이나 남습니다
- 대헌: 충분합니다. 표가 저절로 다 채워집니다
- 창호: 부족합니다. 짝짓기가 둘 남습니다
- 재환: 충분합니다. ○ 두 개면 세 번째는 갈 곳이 하나뿐입니다
- 하나: 단서를 셋이나 주고도 부족합니다. 짝짓기가 둘 남습니다
- 판정을 모으기
이어서 풀어볼까요