문제
하나만 참인 조건
상자 세 개에 글이 한 문장씩 적혀 있습니다. 보석은 한 상자에만 들어 있습니다. 세 문장 가운데 참인 것은 딱 하나입니다. 보석이 든 상자를 구합니다.
사고력 · 초6-1 참과 거짓
내 답
조심 적힌 글을 믿고 따라가고 싶지만 둘은 거짓이라 하나씩 넣어 보아야 합니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 보석이 있을 자리는 셋뿐이므로 글을 놓고 곧바로 씨름하는 대신 작은 표를 만듭니다. '보석이 ㉮에 있다', '㉯에 있다', '㉰에 있다'를 각각 한 줄로 두고, 세 문장을 세 칸으로 둡니다. 한 줄을 채우는 일은 쉽습니다. 보석의 자리를 정하고 나면 문장마다 참인지 거짓인지가 그냥 정해져서 다툴 여지가 없기 때문입니다. 그다음 줄마다 참인 문장이 몇 개인지 셉니다. 문제가 참인 문장은 딱 하나라고 못 박았으니, 세어 본 수가 1이 아닌 줄은 있을 수 없어서 지워지고, 정확히 1이 나온 줄은 앞뒤가 다 맞는 진짜 배열입니다. 마지막에는 보는 눈을 바꾸어 ㉮의 글과 ㉰의 글이 서로 정반대라는 점에 주목합니다. 그러면 같은 답이 한 줄로 나오고 표를 제대로 채웠는지도 확인됩니다.
1STEP 1
상자에 적힌 글을 읽고 세 가지 가능성을 늘어놓기
보석이 어느 상자에 있는지 세 경우로 나눕니다.
3 개의 상자 × 3 개의 문장 = 9 번의 참거짓 판단
세 줄 세 칸짜리 표는 4학년이 공책 한 줄에 그려 채울 수 있습니다. 이렇게 정리해 두면 어떤 가능성도 슬쩍 빠져나가지 못합니다.
1.MD.C.4Make A Systematic List2STEP 2
한 줄을 채우는 법 익히기
경우마다 세 문장의 참거짓을 채웁니다.
문장 셋을 참 더미와 거짓 더미로 나누고 참 더미를 세는 일이니, 단추를 색깔별로 나누어 세는 것과 다르지 않습니다. 다만 '비어 있다'가 보석이 딴 데 있다는 뜻이라는 점만 조심하면 됩니다.
K.MD.B.3Make A Systematic List3STEP 3
첫째 줄: 보석이 ㉮에 있다고 하면 모순
㉮에 있다고 하면 참이 둘이라 모순입니다.
㉮: 참, ㉯: 참, ㉰: 거짓 → 2 ≠ 1
모순이 그냥 개수 어긋남으로 드러납니다. 문제는 참인 문장이 하나라고 했는데 둘이 나왔으니, 어린 학생도 복잡한 논리 없이 이 경우가 죽었다는 것을 볼 수 있습니다.
K.MD.B.3Eliminate Possibilities보석이 A 상자에 있다고 가정하면 참인 진술의 개수가 맞지 않으므로, 그 경우는 죽는다.
왜?
문제는 참인 진술이 정확히 하나라고 약속하므로, 다른 개수를 내놓는 경우는 그 자리에서 무너진다.
🧱반례 하나면 '언제나'는 무너진다모든 경우에 대한 주장은 실패하는 경우 하나를 보이는 순간 무너지며, 보이는 편이 따지는 편보다 쉽다.
왜?
보석은 정확히 한 상자에 있으므로, 세 경우가 모든 가능성을 덮으면서 서로 겹치지 않는다.
🧱겹치지 않는 경우는 더한다어느 경우도 겹치지 않고 빠지지도 않게 나누면 각 경우의 개수를 그냥 더하면 된다.
4STEP 4
셋째 줄: 보석이 ㉰에 있다고 하면 모순
㉰에 있다고 해도 참이 둘입니다.
㉮: 거짓, ㉯: 참, ㉰: 참 → 2 ≠ 1
같은 시험에 같은 방식의 실패입니다. 규칙이 하나만 허락하는데 둘까지 세어졌으니 이 경우를 버리기에 충분하고, 글을 꼼꼼히 읽는 것 말고는 필요한 것이 없습니다.
K.MD.B.3Eliminate Possibilities5STEP 5
둘째 줄: 보석이 ㉯에 있다고 하면 모두 들어맞는다
㉯에 있다고 하면 참이 딱 하나입니다.
㉮: 거짓, ㉯: 거짓, ㉰: 참 → 1 = 1
살아남은 줄을 보석 하나, 참인 문장 하나라는 규칙에 모두 대 보는 일이 '남은 하나'를 '맞는 하나'로 바꿔 줍니다. 방금 버린 줄들을 확인할 때보다 품이 더 드는 것도 아닙니다.
K.MD.B.3Eliminate Possibilities6STEP 6
서로 반대인 짝을 이용한 한 줄 확인
서로 반대인 두 문장으로도 ㉯가 나옵니다.
{㉮, ㉰} 안에 참이 1 개 → 1 - 1 = 0 , ㉯에 남은 참은 없음
문장을 하나씩 보지 않고 서로 반대인 짝을 통째로 보면, 보석에 대해 아무것도 모르는 채로 개수가 먼저 정해집니다. 그러면 남은 문장 하나가 답을 그냥 건네줍니다.
K.MD.B.3Change Focus Count The Complement정답
㉯ 상자
3 × 3 = 9
답은 세 상자 중 하나를 가리키므로 문제가 물은 것과 꼴이 맞고, 그럴듯한 짐작이 아니라 확실한 결론으로 얻었습니다. 상자를 한 번밖에 열 수 없으니 이 점이 중요합니다. 살아남은 배열에서는 세는 조건 두 가지가 모두 지켜집니다. 보석은 ㉯ 하나뿐이고 참인 문장도 ㉰의 글 하나뿐입니다. 지운 두 줄도 참인 문장이 하나가 아니라 둘이라는, 눈으로 확인되는 분명한 까닭으로 지워졌으니 감으로 버린 것이 없습니다. 덧붙여 ㉯의 글이 자기 자신에 대한 거짓말이라는 점도 좋은 확인거리입니다. 보석을 품고 있으면서 '나는 비었다'고 말하는 상자야말로 이 문제가 파 놓은 함정입니다. 서로 반대인 짝 ㉮와 ㉰를 쓰는 한 줄짜리 논리는 표와 상관없이 ㉯에 이르므로, 서로 다른 두 길이 같은 답에서 만납니다.
핵심 정리
보석이 상자마다 들어 있다고 차례로 가정해 보고 참인 문장이 몇 개가 되는지 세어 보세요. 그리고 두 문장이 서로 정반대라면 참 하나는 이미 그 짝이 가져간 것이니, 나머지는 모두 거짓이어야 해요.
- 상자에 적힌 글을 읽고 세 가지 가능성을 늘어놓기
- 한 줄을 채우는 법 익히기
- 첫째 줄: 보석이 ㉮에 있다고 하면 모순
- 셋째 줄: 보석이 ㉰에 있다고 하면 모순
- 둘째 줄: 보석이 ㉯에 있다고 하면 모두 들어맞는다
- 서로 반대인 짝을 이용한 한 줄 확인
이어서 풀어볼까요