문제
합이 같은 줄을 찾아 문제 해결하기
크기가 같은 원 다섯 개가 사슬처럼 이어져 있습니다. 왼쪽부터 ㉠, 3, 7, ㉡, 6, ㉢, 5, 2, ㉣이 놓이고 3, ㉡, ㉢, 2가 겹치는 자리에 있습니다. 겹치는 자리의 수는 두 원에 함께 들어갑니다. 모든 원의 합이 같아지도록 빈칸을 채웁니다.
사고력 · 초5-2 마방진의 기초
내 답
조심 모든 수를 한 번씩 더해 나누고 싶지만 겹치는 수는 두 원에 함께 들어갑니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 이 문제는 그림이 곧 엔진이므로 그림 위에서 바로 생각합니다. 먼저 |보기|를 더 쉬운 문제로 삼습니다. 원이 세 개뿐인 같은 퍼즐인데, 긴 사슬을 쉽게 만들어 주는 요령 하나를 그대로 보여 주기 때문입니다. 이웃한 두 원이 함께 가진 수를 손가락으로 가려 보면, 남은 것끼리도 여전히 균형이 맞는다는 요령입니다. 그다음에는 공통의 합을 곧바로 찾으려 하지 않고, 사슬을 이웃한 두 원씩 작은 문제로 쪼갭니다. 그러면 한 쌍마다 모르는 수가 딱 하나씩만 남아 아무 방해 없이 풀립니다.
1STEP 1
|보기|에서 요령 배우기
이웃한 두 원을 견주면 겹치는 수가 지워집니다.
5 + 2 = 2 + 4 + 1 → 5 = 4 + 1
등호는 양쪽 무게가 같다는 뜻입니다. 양쪽에서 똑같은 수를 덜어 내도 저울은 그대로 균형을 유지합니다. 원이 세 개뿐인 |보기| 덕분에 다섯 개짜리 사슬이 오기 전에 이 생각을 미리 볼 수 있습니다.
1.OA.D.7Solve An Easier Related Problem2STEP 2
둘째 원과 셋째 원을 견주어 ㉢ 구하기
둘째와 셋째를 견주면 4가 나옵니다.
3 + 7 = 6 + ㉢ → 10 = 6 + ㉢ → ㉢ = 4
이 쌍부터 시작하는 것이 좋습니다. ㉡을 가리고 나면 식에 남는 기호가 ㉢ 하나뿐이라 걸리적거리는 것이 없기 때문입니다.
4.OA.A.3Draw A Diagram이웃한 두 원을 견주면 둘이 함께 가진 수를 지울 수 있고, 문자 하나만 남는다.
왜?
두 원의 합이 같으므로, 양쪽에서 공통된 수를 덜어내도 그 진술은 참으로 남는다.
🧱양쪽에 똑같이 하면 등식은 유지된다저울은 양쪽 접시에서 같은 양을 덜어내거나 같은 양을 올려도 수평을 유지한다.
왜?
각 원의 합은 그 안의 수를 더한 것이므로, 공통된 수가 사라진 뒤 남는 것은 서로 다른 수들뿐이다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
3STEP 3
셋째 원과 넷째 원을 견주어 ㉡ 구하기
셋째와 넷째를 견주면 1이 나옵니다.
㉡ + 6 = 5 + 2 → ㉡ + 6 = 7 → ㉡ = 1
이웃한 두 원 하나하나가 그 자체로 작은 문제입니다. 함께 가진 수를 가리면 언제나 기호가 딱 하나만 남으므로, 어느 쌍부터 풀어도 상관없습니다.
4.OA.A.3Identify Subproblems4STEP 4
공통의 합 알아내기
그러면 공통의 합은 11입니다.
3 + 7 + 1 = 11
어느 원이든 하나만 완전히 채워지면 그 원이 공통의 합을 알려 줍니다. 그다음부터는 평범한 덧셈과 뺄셈만 남습니다.
2.NBT.B.5Draw A Diagram5STEP 5
양 끝의 두 원 채우기
양 끝의 원은 8과 9로 채워집니다.
㉠ + 3 = 11 → ㉠ = 8, 2 + ㉣ = 11 → ㉣ = 9
양 끝의 원에는 수가 두 개씩밖에 없으므로, 공통의 합만 알면 각각 뺄셈 한 번으로 끝납니다.
4.OA.A.3Identify Subproblems6STEP 6
모든 원 확인하기
다섯 원의 합이 모두 11로 맞습니다.
8+3 = 3+7+1 = 1+6+4 = 4+5+2 = 2+9 = 11
마지막에 다섯 원을 한 번씩 더해 보는 데는 잠깐이면 되지만, 어딘가 하나만 잘못되어도 다섯 합 중 적어도 하나가 어긋나므로 실수를 놓치지 않습니다.
2.NBT.B.5Draw A Diagram정답
8, 1, 4, 9
8 + 3 = 11
네 답이 모두 1부터 9까지의 자연수여서 그림에 이미 적혀 있는 수들과 같은 범위에 있고, 어색한 값이 하나도 없습니다. 공통의 합 11은 어느 한 자리의 수보다 큽니다. 원마다 적어도 두 개의 수가 들어 있으니 당연한 일입니다. 또 3 + 7 + 6 + 5보다는 작으므로 크기도 알맞습니다. 완성된 사슬 8, 3, 7, 1, 6, 4, 5, 2, 9를 원별로 더하면 11이 다섯 번 나오는데, 이것이 바로 문제가 요구한 단 하나의 조건입니다.
핵심 정리
두 원이 같은 수를 나눠 가지고 있으면 그 수를 손으로 가려 보세요. 남은 것끼리도 여전히 균형이 맞아야 합니다.
- |보기|에서 요령 배우기
- 둘째 원과 셋째 원을 견주어 ㉢ 구하기
- 셋째 원과 넷째 원을 견주어 ㉡ 구하기
- 공통의 합 알아내기
- 양 끝의 두 원 채우기
- 모든 원 확인하기
이어서 풀어볼까요