문제
물의 높이
똑같은 양의 물 42 cm³를 두 그릇에 각각 담습니다. 그릇 가는 밑면이 가로 3 cm, 세로 2 cm인 직육면체입니다. 그릇 나는 밑면이 삼각형인 기둥입니다. 두 그릇의 물의 높이의 비를 구합니다.
사고력 · 초6-1 입체도형의 부피
내 답
조심 밑넓이가 넓으면 물도 높을 것 같지만 물의 양이 같아 오히려 낮아집니다.
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기 — 기둥에 담긴 물은 그 자체가 또 하나의 기둥이므로, 물의 부피는 (밑넓이)×(물의 높이)입니다. 이 한 문장이 문제를 쉬운 작은 문제 셋으로 갈라 줍니다. 가의 밑넓이 구하기, 나의 밑넓이 구하기, 그리고 각각에서 그 밑넓이에 무엇을 곱해야 42가 되는지 묻기입니다. 두 그릇에 수평인 물의 표면을 직접 그어 보면 물이 큰 기둥 안에 든 작은 기둥이라는 것이 분명해집니다. 두 그릇을 따로 구한 다음 견주어 보면 기억해 둘 만한 규칙도 드러납니다. 같은 물이라도 밑면이 넓으면 낮게 차오르므로, 두 높이의 비가 두 밑넓이의 비를 뒤집은 꼴이 된다는 것입니다.
1STEP 1
물 자체가 기둥임을 알아보기
담긴 물도 기둥이라 밑넓이 곱하기 높이입니다.
(물의 부피) = (밑넓이) × (물의 높이)
기둥은 같은 모양을 몇 겹이고 쌓아 올린 것입니다. 물을 붓는 일은 그 똑같은 층을 몇 겹까지 얻을지 정하는 일일 뿐이므로, 그릇 전체에 쓰던 부피 규칙이 물 부분에도 그대로 통합니다.
7.G.B.6Draw A Diagram물 자체가 기둥이므로, 물의 높이는 부은 부피를 밑넓이에 나누어 놓은 것이다.
왜?
기둥의 부피는 밑넓이에 높이를 곱한 것이므로, 부피와 밑넓이를 알면 높이가 나온다.
🧱각기둥은 밑면을 쌓아 올린 것각기둥은 하나의 평평한 면이 끝까지 반복된 것이므로, 부피는 밑넓이에 높이를 곱한 것이다.
왜?
부피가 정해져 있으면 밑넓이가 두 배일 때 높이는 절반이 되므로, 높이는 밑넓이와 반대로 움직인다.
🧱비례하는 양은 함께 커진다두 양이 일정한 비를 유지하면 하나를 두 배 하면 다른 하나도 두 배가 되므로, 아는 비로 모르는 비를 대신할 수 있다.
2STEP 2
그릇 가의 밑넓이 구하기
그릇 가의 밑넓이는 6 cm²입니다.
3 × 2 = 6 cm²
직사각형의 넓이는 가로×세로, 곧 그릇 바닥에 한 변이 1 cm인 정사각형이 몇 개나 깔리는지를 세는 것입니다.
6.G.A.1Identify Subproblems3STEP 3
그릇 가에 담긴 물의 높이 구하기
그래서 물의 높이는 7 cm입니다.
6 × (물의 높이) = 42 → (물의 높이) = 42 ÷ 6 = 7 cm
가에서는 물 한 층, 곧 두께 1 cm짜리 층이 6 cm³를 담습니다. 그러니 42 cm³는 그런 층 7개입니다. 부피를 밑넓이로 나누는 것은 층수를 세는 일입니다.
7.G.B.6Identify Subproblems4STEP 4
그릇 나의 밑넓이 구하기
그릇 나의 밑넓이는 14 cm²입니다.
7 × 4 ÷ 2 = 28 ÷ 2 = 14 cm²
직각 표시 덕분에 계산이 쉬워집니다. 4 cm가 7 cm인 변에 정말 수직인 높이임을 보증해 주는데, 삼각형의 넓이 공식이 받아들이는 높이는 그것뿐이기 때문입니다. 이 삼각형 두 장을 맞붙이면 밑변 7, 높이 4인 평행사변형이 되고 그 넓이는 가로 7, 세로 4인 직사각형과 같으므로, 맞은편 꼭짓점이 변의 어디쯤에 있든 삼각형은 28의 절반입니다.
6.G.A.1Identify Subproblems5STEP 5
그릇 나에 담긴 물의 높이 구하기
그래서 물의 높이는 3 cm입니다.
14 × (물의 높이) = 42 → (물의 높이) = 42 ÷ 14 = 3 cm
나에서는 두께 1 cm짜리 층 하나가 14 cm³를 담습니다. 가의 한 층보다 두 배가 넘게 담기니, 같은 물로는 층수가 훨씬 적어지고 물도 훨씬 낮게 찹니다.
7.G.B.6Identify Subproblems6STEP 6
두 높이의 비 쓰기
두 높이의 비는 7 : 3입니다.
(가의 물의 높이) : (나의 물의 높이) = 7 : 3
비는 같은 종류의 두 양을 견주는 것입니다. 여기서는 둘 다 cm 단위의 높이라서 단위가 서로 지워지고, 7 대 3이라는 순수한 수만 남습니다.
6.RP.A.1Analyze The Units7STEP 7
규칙 발견하기: 높이의 비는 밑넓이의 비를 뒤집은 것
높이의 비는 밑넓이의 비를 뒤집은 것입니다.
(가의 밑넓이) : (나의 밑넓이) = 6 : 14 = 3 : 7 ⟹ (가의 물의 높이) : (나의 물의 높이) = 7 : 3
두 수의 곱이 정해져 있으면 한쪽이 커진 만큼 다른 쪽은 그만큼 작아질 수밖에 없습니다. 이것만 알아채면 물의 높이를 하나도 구하지 않고 밑넓이만 보고도 답의 비를 바로 쓸 수 있습니다.
7.RP.A.2Look For A Pattern정답
7 : 3
42 ÷ 6 = 7, 42 ÷ 14 = 3
단위가 어느 단계에서도 어긋나지 않습니다. cm²에 cm를 곱하면 cm³이고, 6 × 7 = 42와 14 × 3 = 42가 모두 부은 물의 양을 정확히 되돌려 줍니다. 높이도 그럴듯합니다. 7 cm와 3 cm는 모두 그릇 높이 10 cm보다 낮으니 어느 쪽도 넘치지 않고, 문제가 바라는 상황과 맞습니다. 방향도 맞습니다. 나의 바닥이 14 cm²로 가의 6 cm²보다 넓으니 같은 물이 더 넓게 퍼져 낮게 차야 하는데, 실제로 3 cm가 7 cm보다 낮습니다. 마지막으로 7 : 3은 간단히 한 밑넓이의 비 3 : 7을 정확히 뒤집은 꼴인데, 이것이 반비례 관계를 거꾸로 쓰지 않았는지 확인해 주는 검산입니다.
핵심 정리
같은 물이라도 바닥이 넓은 그릇에서는 낮게 찹니다. 그래서 물 높이의 비는 밑넓이의 비를 그대로 뒤집은 꼴이 됩니다.
- 물 자체가 기둥임을 알아보기
- 그릇 가의 밑넓이 구하기
- 그릇 가에 담긴 물의 높이 구하기
- 그릇 나의 밑넓이 구하기
- 그릇 나에 담긴 물의 높이 구하기
- 두 높이의 비 쓰기
- 규칙 발견하기: 높이의 비는 밑넓이의 비를 뒤집은 것
이어서 풀어볼까요