문제
작업 능률
한 사람은 종이배 240개를 혼자 접으면 1시간이 걸립니다. 다른 사람은 같은 240개를 40분에 접습니다. 두 사람이 평소 속도 그대로 함께 접습니다. 240개를 접는 데 몇 분이 걸리는지 구합니다.
사고력 · 초6-1 비와 비율 (2)
내 답
조심 두 시간을 평균 내고 싶지만 함께 하면 더 빨라지므로 속도를 더해야 합니다.
풀이 과정
전략 단위 살펴보기 — 60분과 40분이라는 두 시간을 어떻게든 합치고 싶어지지만, 분은 합칠 수 있는 대상이 아닙니다. 단위를 들여다보면 두 사람이 나란히 앉았을 때 실제로 쌓이는 것은 '1분에 접는 종이배 수'입니다. 그래서 문제를 작은 세 조각으로 쪼갭니다. 하영이가 1분에 몇 개를 접는가, 승민이가 1분에 몇 개를 접는가, 그리고 둘이 함께 1분에 몇 개를 접는가입니다. 함께 접는 1분당 개수를 구하고 나면 남는 일은 240개를 그 속도로 나누는 것뿐입니다. 1분만 잘라 낸 그림을 그리면 생각이 훨씬 또렷해집니다. 그 1분 동안 하영이 앞에 쌓인 더미와 승민이 앞에 쌓인 더미가 나란히 놓이고, 두 더미는 그냥 합쳐집니다.
1STEP 1
두 시간의 단위를 맞추기
1시간을 60분으로 고쳐 단위를 맞춥니다.
1 시간 = 60 분
한쪽은 시간으로, 다른 쪽은 분으로 재어 놓고서는 두 속도를 견주지도 합치지도 못합니다. 단위부터 맞추는 것이 틀린 답을 피하는 가장 값싼 방법입니다.
6.RP.A.3Analyze The Units2STEP 2
하영이가 1분에 접는 개수 구하기
한 사람은 1분에 4개를 접습니다.
240 ÷ 60 = 4 (1분에 4개)
'1분에 얼마나?'에 답하는 것이 단위량입니다. 전체를 분의 수로 나누는 이 계산은 아이들이 이미 아는 똑같이 나누어 주기 그대로입니다.
6.RP.A.2Analyze The Units3STEP 3
승민이가 1분에 접는 개수 구하기
다른 사람은 1분에 6개를 접습니다.
240 ÷ 40 = 6 (1분에 6개)
같은 일을 더 짧은 시간에 끝낸다면 1분에 하는 양은 더 많아야 합니다. 6이 4보다 크게 나온 것 자체가 나눗셈의 방향이 맞았다는 검산이 됩니다.
6.RP.A.2Analyze The Units4STEP 4
시간이 아니라 속도를 더하기
함께 하면 1분에 10개입니다.
4 + 6 = 10 (둘이 함께 1분에 10개)
1분당 개수는 결국 종이배의 개수이고, 같은 1분에 만들어진 개수는 그냥 합쳐집니다. 반면 분은 쌓이는 것이 아닙니다. 두 사람은 같은 1분을 함께 쓰지 따로따로 쓰지 않습니다.
6.RP.A.3Draw A Diagram함께 일하면 두 속도는 더해지지만 두 시간은 결코 더해지지 않는다.
왜?
속도는 한 사람이 1분에 일의 얼마를 끝내는지를 말하며, 그 양은 다른 사람이 함께 일한다고 달라지지 않는다.
🧱큰 단위는 작은 단위 고정 개수의 묶음큰 단위는 언제나 작은 단위의 같은 고정 개수와 같아서(1시간=60분, 1km=1000m) 측정을 두 단위로 바꿔 부를 수 있다.
왜?
1분 동안 끝난 일은 두 몫을 빈틈도 겹침도 없이 합친 것이므로, 몫을 그냥 더하면 된다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
5STEP 5
전체 개수를 함께 접는 속도로 나누기
240을 나누면 24분입니다.
240 ÷ 10 = 24 (분)
속도가 하나의 수로 정리되고 나면 '얼마나 걸리나'는 나눗셈 한 번입니다. 전체 양을 1분당 양으로 나누는 것이고, 단위도 그렇게 말합니다. 개수를 1분당 개수로 나누면 분이 남습니다.
6.RP.A.3Identify Subproblems6STEP 6
일의 양을 1로 놓는 방법으로 다시 확인하기
일의 양을 1로 놓아도 24분입니다.
1/60 + 1/40 = 2/120 + 3/120 = 5/120 = 1/24, 1 ÷ 1/24 = 24
일의 양을 1로 놓으면 각자가 1분에 하는 몫이 분수가 됩니다. 그 분수들이 더해지는 까닭은 앞에서 종이배 개수가 더해지던 까닭과 똑같습니다. 1을 1/24로 나누는 것은 1 안에 1/24이 몇 개 들어가는지 묻는 일이고, 답은 24입니다.
6.NS.A.1Solve An Easier Related Problem정답
24 분
240 ÷ 10 = 24
단위가 맞아떨어집니다. 종이배 240개를 1분에 10개인 속도로 나누면 분이 남고, 답도 시간입니다. 크기도 맞습니다. 두 사람이 함께 하면 혼자 할 때보다 반드시 빨라야 하므로 답은 더 빠른 사람의 시간인 40분보다 작아야 하는데 24분은 그렇습니다. 또 40분의 절반인 20분보다는 커야 합니다. 하영이는 승민이보다 느리니 승민이가 한 명 더 있는 것만큼 도울 수는 없기 때문입니다. 24는 20과 40 사이, 꼭 있어야 할 자리에 있습니다. 직접 확인해 보면 24분 동안 하영이는 4 × 24 = 96개를, 승민이는 6 × 24 = 144개를 접고 96 + 144 = 240개입니다. 솔깃한 지름길이 왜 틀리는지도 드러납니다. 시간을 더하면 100분, 평균을 내면 50분인데 둘 다 승민이가 혼자 접는 것보다 느리니 있을 수 없는 답입니다.
핵심 정리
두 사람이 함께 일할 때는 각자 1분에 하는 양을 더하세요. 혼자 걸리는 시간끼리는 절대 더하면 안 됩니다.
- 두 시간의 단위를 맞추기
- 하영이가 1분에 접는 개수 구하기
- 승민이가 1분에 접는 개수 구하기
- 시간이 아니라 속도를 더하기
- 전체 개수를 함께 접는 속도로 나누기
- 일의 양을 1로 놓는 방법으로 다시 확인하기
이어서 풀어볼까요