문제
따라잡기
두 사람이 동시에 출발해 같은 방향으로 달립니다. (1)은 직선 길에서 한 사람이 뒤처져 출발합니다. (2)는 원형 트랙을 함께 돕니다. 따라잡거나 다시 만나는 데 걸리는 시간을 구합니다.
사고력 · 초6-1 거리와 속력 (1)
내 답
조심 빠르기를 더하고 싶지만 같은 방향으로 달리므로 빼야 좁혀지는 빠르기가 나옵니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 도로를 직선으로 긋고 그 위에 점 두 개를 찍은 다음, 1분이 지나면 두 점 사이가 어떻게 되는지만 물어봅니다. 이 그림 하나로 쫓고 쫓기는 상황이 뺄셈 한 번으로 바뀝니다. 두 사람 사이의 거리는 (빠른 사람의 빠르기) - (느린 사람의 빠르기)만큼 매분 줄어듭니다. 그다음은 단위가 알아서 해 줍니다. 거리를 1분에 줄어드는 거리로 나누면 분이 나옵니다. (2)의 원형 트랙은 전혀 다른 문제처럼 보이지만 사실 같은 문제입니다. 직선 도로를 구부려 고리로 만들었다고 생각하면, 따라잡는다는 것은 한 바퀴 400 m를 더 앞서는 일입니다.
1STEP 1
(1) 1분 동안 두 사람 사이가 얼마나 줄어드는지 보기
(1)에서 사이는 1분에 20씩 줄어듭니다.
200 - 180 = 20 (1분에 좁혀지는 거리, m)
이 단원의 핵심이 한 줄에 담겨 있습니다. 같은 방향으로 달릴 때 중요한 것은 각자의 빠르기가 아니라 두 빠르기의 차입니다. 그 차가 바로 사이가 사라지는 속도이기 때문입니다.
6.RP.A.2Draw A Diagram1분 동안 간격은 두 속도의 차만큼 정확히 줄어들며, 어느 한쪽 속도만큼 줄어드는 것이 아니다.
왜?
두 사람 모두 함께 앞으로 나아가므로, 공통된 속도만큼은 둘을 함께 옮길 뿐 사이를 좁히지 못한다.
🧱간격은 속도의 차만큼 줄어든다두 물체가 같은 방향으로 움직이면 각각의 속도는 중요하지 않다 — 둘 사이 간격은 정확히 속도의 차만큼 줄어든다.
왜?
남은 그 속도는 한결같이 작용하므로, 시간이 두 배면 좁혀지는 간격도 두 배가 된다.
🧱비례하는 양은 함께 커진다두 양이 일정한 비를 유지하면 하나를 두 배 하면 다른 하나도 두 배가 되므로, 아는 비로 모르는 비를 대신할 수 있다.
2STEP 2
(1) 벌어진 거리를 좁혀지는 빠르기로 나누기
벌어진 거리를 나누면 3분입니다.
60 ÷ 20 = 3 (분)
단위를 살펴보세요. m를 분속 m로 나누면 분이 남습니다. 문제가 원하는 것이 바로 그 단위입니다. 몇 분 몇 초를 물었는데 3분이 딱 떨어졌으므로 답은 3분 0초입니다.
6.RP.A.3Analyze The Units3STEP 3
(1) 두 사람의 위치를 따로 구해 확인하기
두 사람의 자리를 따로 구해도 같은 곳입니다.
200 × 3 = 600, 60 + 180 × 3 = 600
두 사람의 위치를 따로 구해서 두 수가 같은지 보는 확인법은 곱셈과 덧셈만 있으면 됩니다. 빠르기에 대한 어려운 생각 없이도 답이 맞는지 확인할 수 있습니다.
4.OA.A.3Draw A Diagram4STEP 4
(2) 원형 트랙에서 '다시 만난다'는 것은 한 바퀴를 앞서는 것
(2)에서 다시 만나려면 한 바퀴를 앞서야 합니다.
(승훈이가 더 달려야 하는 거리) = 400 m (한 바퀴)
고리를 한 곳에서 잘라 쭉 펴 보면 이것은 다시 (1)입니다. 60 m 대신 400 m만큼 뒤에서 출발했을 뿐입니다. 이미 풀어 본 더 쉬운 문제를 알아보는 것이 원형 트랙 문제를 무섭지 않게 만듭니다.
6.RP.A.3Solve An Easier Related Problem5STEP 5
(2) 1초에 얼마나 앞서는지 구하기
1초에 0.5씩 앞섭니다.
3 - 2.5 = 0.5 (1초에 앞서는 거리, m)
3에서 2.5를 빼는 것은 소수점을 맞추어 하는 소수의 뺄셈일 뿐입니다. 빠르기가 초속으로 주어졌으니 앞서는 거리도 1초를 기준으로 나오고, 단위가 어긋나지 않습니다.
6.NS.B.3Analyze The Units6STEP 6
(2) 나눈 뒤 초를 분으로 고치기
나누면 800초, 곧 13분 20초입니다.
400 ÷ 0.5 = 800 (초) = 13 × 60 + 20 = 13분 20초
0.5로 나누는 것은 2를 곱하는 것과 같습니다. 가장 어려워 보이는 이 계산을 이렇게 확인할 수 있습니다. 초를 분으로 고치는 것은 60초 = 1분이라는 단위 관계를 쓰는 일입니다.
4.MD.A.1Analyze The Units7STEP 7
(2) 바퀴 수로 확인하기
바퀴 수로 세어도 딱 한 바퀴 차이입니다.
3 × 800 = 2400 = 6 × 400, 2.5 × 800 = 2000 = 5 × 400
두 사람이 달린 거리가 모두 바퀴 수로 딱 떨어진다는 것은 답이 맞다는 강한 증거입니다. 시간이 조금이라도 어긋났다면 둘 중 한 사람은 트랙 중간 어딘가에 서 있게 되기 때문입니다.
6.RP.A.3Draw A Diagram정답
3분, 13분 20초
60 ÷ 20 = 3, 400 ÷ 0.5 = 800
두 문제 모두 단위가 맞습니다. m를 분속 m로 나누면 분이 나오고, m를 초속 m로 나누면 초가 나옵니다. 크기도 자연스럽습니다. (1)은 벌어진 거리가 60 m로 짧고 효주가 1분에 20 m나 따라붙으니 몇 분이면 충분합니다. 만약 답이 몇 시간으로 나왔다면 어딘가 잘못된 것입니다. (2)는 좁혀야 할 거리가 400 m로 훨씬 길고 앞서는 빠르기는 초속 0.5 m로 훨씬 작습니다. 같은 단위로 고쳐 보면 (1)에서 1분에 20 m씩 좁히던 것의 40분의 1이므로 시간이 훨씬 오래 걸려야 하고, 실제로 13분 20초는 3분보다 한참 깁니다. 흔히 빠지는 함정도 여기서 함께 보입니다. 빠르기를 더하는 것(200 + 180이나 3 + 2.5)은 마주 보고 달려올 때 쓰는 방법이지 같은 방향일 때 쓰는 방법이 아니고, 200만 쓰는 것은 재호가 가만히 서 있다고 여기는 것입니다.
핵심 정리
같은 방향으로 달릴 때는 두 빠르기를 빼 보세요. 그 차가 바로 사이가 좁혀지는 빠르기예요. 그리고 원형 트랙에서 좁혀야 할 거리는 딱 한 바퀴랍니다!
- (1) 1분 동안 두 사람 사이가 얼마나 줄어드는지 보기
- (1) 벌어진 거리를 좁혀지는 빠르기로 나누기
- (1) 두 사람의 위치를 따로 구해 확인하기
- (2) 원형 트랙에서 '다시 만난다'는 것은 한 바퀴를 앞서는 것
- (2) 1초에 얼마나 앞서는지 구하기
- (2) 나눈 뒤 초를 분으로 고치기
- (2) 바퀴 수로 확인하기
이어서 풀어볼까요