문제
만나기
두 사람이 동시에 출발해 서로를 향해 갑니다. (1)은 두 빠르기와 만나기까지 걸린 시간을 알려 줍니다. (2)는 두 빠르기와 사이의 거리를 알려 줍니다. (1)의 거리와 (2)의 시간을 구합니다.
사고력 · 초6-1 거리와 속력 (1)
내 답
조심 빠르기의 차를 쓰고 싶지만 마주 보고 가므로 더해야 합니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 직선 하나를 긋고 양 끝에 사람을 세운 뒤 안쪽으로 화살표를 그리면 상황이 통째로 보이고, 가장 중요한 사실도 드러납니다. 1분마다 민지는 왼쪽에서, 송이는 오른쪽에서 간격을 갉아먹으므로 간격은 60이나 50이 아니라 60 + 50 m씩 줄어듭니다. 이렇게 합친 값, 곧 간격이 좁혀지는 빠르기를 쓰면 움직이는 두 사람이 줄어드는 거리 하나로 바뀌어 빠르기가 하나뿐인 문제가 됩니다. 그러면 (1)은 곱셈으로 앞으로 가고 (2)는 같은 관계를 나눗셈으로 거꾸로 되돌리는 일이라, 생각 하나로 두 문제가 함께 풀립니다.
1STEP 1
(1) 그림을 그리고 간격이 좁혀지는 빠르기 구하기
(1)에서 사이는 1분에 110씩 좁혀집니다.
60 + 50 = 1분에 110 m
빠르기를 더한다는 말은 화살표를 그려 보기 전까지는 이상하게 들립니다. 두 사람이 같은 간격을 양쪽 끝에서 함께 줄이고 있으니 힘이 쌓이는 것입니다. 줄어드는 거리 하나로 보면 생각할 빠르기도 하나만 남습니다.
6.RP.A.2Draw A Diagram서로를 향해 걸으면 두 속도가 더해지는데, 둘 다 같은 간격을 갉아먹고 있기 때문이다.
왜?
중요한 것은 둘 사이의 거리가 얼마나 빨리 줄어드는가이며, 반대 방향으로 움직이면 각 속도가 그 줄어듦에 함께 세어진다.
🧱간격은 속도의 차만큼 줄어든다두 물체가 같은 방향으로 움직이면 각각의 속도는 중요하지 않다 — 둘 사이 간격은 정확히 속도의 차만큼 줄어든다.
왜?
전체 거리는 한 사람이 간 거리와 다른 사람이 간 거리를 합친 것이며, 만나는 지점에서 빈틈도 겹침도 없다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
2STEP 2
(1) 간격이 좁혀지는 빠르기에 시간 곱하기
시간을 곱하면 거리는 880입니다.
110 × 8 = 880 m
곱하면서 단위도 함께 봅니다. (1분에 몇 m) × (몇 분)이면 m가 남고, 답이 거리여야 하니 알맞습니다. 단위가 엉뚱하게 나왔다면 식을 잘못 세운 것입니다.
6.RP.A.3Analyze The Units3STEP 3
(1) 두 사람이 걸은 거리를 따로 더해 확인하기
따로 걸은 거리를 더해도 880입니다.
60 × 8 = 480, 50 × 8 = 400, 480 + 400 = 880
'민지 몫'과 '송이 몫'으로 쪼개는 길은 더 느리지만 새로운 생각이 전혀 필요 없습니다. 그래서 빠르기를 더해도 되었는지 확인하기에 딱 좋습니다.
4.NBT.B.5Identify Subproblems4STEP 4
(2) 같은 그림임을 알아보기
(2)도 같은 그림이라 빠르기는 70입니다.
24 + 46 = 시속 70 km
두 번째 문제가 첫 번째 문제에서 아는 값과 구하는 값만 맞바꾼 것임을 알아채면 새로 만들어 낼 것이 없습니다. 간격이 줄어드는 그림이 그대로 넘어옵니다.
6.RP.A.2Look For A Pattern5STEP 5
(2) 거꾸로 풀어 거리를 좁히는 빠르기로 나누기
거리를 나누면 5시간입니다.
70 × □ = 350 → □ = 350 ÷ 70 = 5 시간
곱셈식에서 네모가 끝이 아니라 가운데에 있으면 나눗셈이 제자리를 찾아 줍니다. 350 ÷ 70은 35 ÷ 7과 같으니 계산도 가볍습니다.
6.EE.B.7Work Backwards6STEP 6
(2) 두 사람이 간 거리를 따로 더해 확인하기
따로 간 거리를 더해도 맞습니다.
24 × 5 = 120, 46 × 5 = 230, 120 + 230 = 350
구한 답을 원래 이야기에 도로 넣어 보는 것만큼 확실한 검산은 없습니다. 두 거리의 합이 350이 아니었다면 시간이 틀린 것입니다.
6.RP.A.3Identify Subproblems정답
880 m, 5시간
110 × 8 = 880, 350 ÷ 70 = 5
두 답 모두 단위의 종류가 알맞습니다. (1)은 거리를 물었고 880은 m이며, (2)는 시간을 물었고 5는 시간입니다. 크기도 그럴듯합니다. (1)에서 880 m는 두 사람이 양쪽 끝에서 8분씩 걸으면 만나는 거리이니 이웃한 두 집 사이로 아주 흔한 값이고, 답은 50 × 8 = 400과 (60 + 60) × 8 = 960 사이에 있어야 하는데 실제로 그렇습니다. (2)에서 버스를 탄 민주는 자전거를 탄 정호보다 대략 두 배 빠르니 거리도 두 배쯤이어야 하는데 230 km와 120 km로 맞습니다. 만나는 시간은 혼자 갈 때보다 짧아야 합니다. 정호 혼자라면 350 ÷ 24로 14시간이 넘고 민주 혼자라도 350 ÷ 46으로 7시간이 넘으니, 두 사람이 함께 간격을 줄인 5시간이 둘 다보다 짧은 것은 옳습니다.
핵심 정리
두 사람이 마주 보고 걸어오면 빠르기를 더해요. 그 빠르기로 사이의 간격이 줄어드니, 남는 것은 거리 하나, 빠르기 하나, 시간 하나뿐입니다.
- (1) 그림을 그리고 간격이 좁혀지는 빠르기 구하기
- (1) 간격이 좁혀지는 빠르기에 시간 곱하기
- (1) 두 사람이 걸은 거리를 따로 더해 확인하기
- (2) 같은 그림임을 알아보기
- (2) 거꾸로 풀어 거리를 좁히는 빠르기로 나누기
- (2) 두 사람이 간 거리를 따로 더해 확인하기
이어서 풀어볼까요