문제
주사위 완성하기
마주 보는 면의 눈의 합이 7인 주사위를 같은 각도에서 세 번 그렸습니다. 윗면·앞면·오른쪽 면이 첫째는 1, 2, 3, 둘째는 가, 2, 6, 셋째는 1, 3, 나입니다. 가와 나의 맞은편 면의 눈의 수를 구합니다.
사고력 · 초5-2 주사위
내 답
조심 가와 나의 눈을 구하고 멈추기 쉽지만 묻는 것은 그 맞은편 면입니다.
풀이 과정
전략 공간 상상하기 — 합이 7이라는 규칙만으로는 부족합니다. 면 가의 후보를 둘까지 좁혀 놓고는 멈춰 버립니다. 하필 3과 4가 서로 마주 보는 짝이라 그 규칙으로는 둘을 가릴 수 없기 때문입니다. 둘을 갈라 주는 것은 주사위를 어느 쪽으로 돌렸는가입니다. 그래서 먼저 첫 번째 주사위의 보이지 않는 면을 채워 주사위 전체를 확정하고, 두 번째와 세 번째 그림이 각각 한 면을 제자리에 그대로 두고 있다는 점에 주목합니다. 그러면 두 그림은 첫 번째 주사위를 그 면을 축으로 돌린 것이고, 한 면을 축으로 돌리면 나머지 네 면은 정해진 순서의 고리를 따라 돕니다. 회전을 머릿속으로 그리는 것보다 고리에서 면을 읽는 편이 훨씬 안전하고, 진짜 주사위를 손에 쥐면 10초 만에 확인할 수 있습니다.
1STEP 1
첫 번째 주사위의 보이지 않는 절반 채우기
마주 보는 눈의 합이 7이라 보이지 않는 절반이 채워집니다.
7-1=6, 7-2=5, 7-3=4
7에서 빼는 뺄셈 세 번이면 세 면만 보이던 그림이 주사위 전체의 지도로 바뀝니다. 뒤에서 그림들을 견주려면 이 완전한 지도가 꼭 필요합니다.
2.OA.B.2Draw A Diagram2STEP 2
면 가의 후보를 둘로 좁히기
가의 후보는 3이나 4로 좁혀집니다.
{1,6} 좌우, {2,5} 앞뒤 → 가 ∈ {3,4}
여섯 면은 마주 보는 세 쌍으로 나뉘는데 두 쌍의 자리가 이미 정해졌으니 마지막 쌍은 갈 곳이 한 군데뿐입니다. 후보를 둘로 줄인 것만도 큰 진전이고, 앞으로 어떤 정보가 더 필요한지도 알려 줍니다.
K.G.B.4Eliminate Possibilities3STEP 3
두 번째 주사위는 2인 면을 축으로 돌린 것임을 알아채기
둘째 그림은 2인 면을 축으로 돌린 것입니다.
입체를 돌리면 모든 면이 움직이지만 면끼리의 배치가 뒤바뀌지는 않습니다. 어떤 면이 제자리로 돌아와 있다면 그 면을 축으로 돌린 것일 수밖에 없습니다. 축이 되는 면을 찾아내는 순간, 어려운 입체 문제가 '다음에 오는 것은 무엇인가'라는 간단한 문제로 바뀝니다.
8.G.A.1Visualize Spatial Relationships두 번째 주사위는 2가 적힌 면을 축으로 첫 번째 주사위를 돌린 것인데, 그 면이 제자리로 돌아와 있기 때문이다.
왜?
입체를 돌리면 모든 면이 옮겨지지만 순서가 뒤바뀌지는 않으므로, 움직이지 않은 면이 돌린 축이어야 한다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
그 축 둘레의 네 면은 닫힌 고리를 이루므로, 그중 하나의 자리를 알면 나머지가 모두 정해진다.
🧱주기는 한 주기 뒤 제자리로 돌아온다길이가 p인 고정된 반복 주기는 p걸음마다 같은 자리로 돌아온다.
4STEP 4
고리에서 면 가 읽어 내기
고리를 따라가면 가는 3입니다.
고리(윗면→오른쪽 옆면→아랫면→왼쪽 뒷면): 1→ 3→ 6→ 4→ 1; 오른쪽 옆면=6→ 윗면=3; 7-3=4
네 개짜리 고리는 시계 숫자판과 같습니다. 한 숫자의 자리를 알면 나머지 숫자의 자리도 전부 못 박힙니다. 앞에서 남겨 둔 후보 3과 4 중 하나를 정하는 것도 바로 이 단계이고, 답은 3입니다.
8.G.A.1Visualize Spatial Relationships5STEP 5
세 번째 주사위도 같은 방법으로, 이번에는 1인 면을 축으로
셋째 그림에서 같은 방법으로 나는 5입니다.
고리(왼쪽 앞면→오른쪽 옆면→오른쪽 뒷면→왼쪽 뒷면): 2→ 3→ 5→ 4→ 2; 왼쪽 앞면=3→ 오른쪽 옆면=5; 7-5=2
똑같은 방법을 축만 바꿔서 한 번 더 쓴 것입니다. 그림마다 새로운 방법을 궁리하는 대신 하나의 생각을 다시 쓰는 것이 입체 문제에서 헷갈리지 않는 비결입니다.
8.G.A.1Visualize Spatial Relationships6STEP 6
진짜 주사위로 두 답 확인하기
맞은편 면은 4와 2입니다.
이 문제는 처음부터 끝까지 물체 하나를 돌리는 이야기이므로, 진짜 물체를 돌려 보는 것이 완벽한 확인입니다. 내 주사위를 아무리 돌려도 그림과 같은 모습이 나오지 않는다면, 그 주사위가 반대 방향으로 만들어진 것입니다. 첫 번째 그림을 좌우 반대로 읽으면 다시 들어맞습니다.
K.G.B.4Create A Physical Representation정답
4, 2
7 − 3 = 4, 7 − 5 = 2
나오는 수는 모두 1부터 6까지의 눈 수여야 하는데 두 답 4와 2 모두 그 범위 안에 있습니다. 조각들도 서로 부딪히지 않고 잘 맞습니다. 두 번째 주사위는 윗면 3, 왼쪽 앞면 2, 오른쪽 옆면 6에 보이지 않는 면이 4, 5, 1이어서 여섯 수가 한 번씩만 쓰이고, 세 번째 주사위는 윗면 1, 왼쪽 앞면 3, 오른쪽 옆면 5에 보이지 않는 면이 6, 4, 2여서 역시 한 번씩만 쓰입니다. 두 답은 각각 알아낸 면의 7의 보수이고(3+4=7, 5+2=7), 가가 3으로 나온 것은 앞서 가능성을 지워 남겨 둔 두 후보 중 하나였으니 고리로 따진 결론을 따로 확인해 준 셈입니다. 마지막으로 이 결론은 그저 앞뒤가 맞는 정도가 아니라 다른 수가 들어설 자리가 없는 결론입니다. 첫 번째 주사위가 정해진 이상 두 번째 그림이 나오게 하는 가의 값도, 세 번째 그림이 나오게 하는 나의 값도 하나뿐입니다.
핵심 정리
주사위를 그린 두 그림에 같은 면이 있다면 그 면을 축으로 돌린 것뿐입니다. 그러면 나머지 네 면은 여전히 같은 고리 위에 있으니, 숨은 면을 고리에서 바로 읽어 낼 수 있습니다.
- 첫 번째 주사위의 보이지 않는 절반 채우기
- 면 가의 후보를 둘로 좁히기
- 두 번째 주사위는 2인 면을 축으로 돌린 것임을 알아채기
- 고리에서 면 가 읽어 내기
- 세 번째 주사위도 같은 방법으로, 이번에는 1인 면을 축으로
- 진짜 주사위로 두 답 확인하기
이어서 풀어볼까요