문제
직육면체의 전개도
닫힌 직육면체를 모서리를 따라 잘라 펼치면 전개도가 됩니다. 모서리는 잘리거나 접는 선으로 남습니다. 전개도가 오른쪽에 그려져 있습니다. 잘라야 하는 모서리와 남기는 모서리의 수를 구합니다.
사고력 · 초5-2 직육면체
내 답
조심 전개도 모양마다 다를 것 같지만 접는 선은 언제나 5개입니다.
풀이 과정
전략 직접 만져보기 — 가장 확실한 방법은 직접 만들어 보는 것입니다. 작은 상자를 하나 붙여 만들고 손가락으로 모서리 12개를 훑어 세어 본 다음, 가위로 잘라 가며 상자가 납작하게 펴질 때까지 몇 번 잘랐는지 세면 됩니다. 한 번만 해 보면 두 수가 눈에 보이고, 왜 둘을 더하면 12가 되는지도 저절로 알게 됩니다. 잘못 세지 않았는지 확인하기 위해 그림에서 수를 바로 읽는 방법도 함께 씁니다. 전개도의 점선이 곧 자르지 않은 모서리이므로 점선만 세면 됩니다. 마지막으로 면이 6개인 입체라면 접는 선이 왜 5개일 수밖에 없는지를 그림으로 설명합니다.
1STEP 1
직육면체의 모서리 세기
직육면체의 모서리는 12개입니다.
4 + 4 + 4 = 12
위쪽 테두리, 아래쪽 테두리, 기둥 모서리로 나누어 세면 같은 모서리를 두 번 가리킬 일이 없습니다. 겨냥도의 점선이 있는 이유도 바로 이것 때문입니다.
6.G.A.4Draw A Diagram2STEP 2
전개도에서 자르지 않은 모서리 읽기
전개도의 접는 선은 5개입니다.
3 + 1 + 1 = 5
그림이 이미 두 종류의 모서리를 나누어 놓았습니다. 점선이면 붙어 있는 것, 실선이면 잘린 것이니 점선만 세면 일이 끝납니다.
6.G.A.4Make A Systematic List3STEP 3
빼기로 잘라야 하는 모서리 구하기
빼면 잘라야 하는 모서리는 7개입니다.
12 - 5 = 7
모든 모서리가 두 무리 중 하나에만 속하니, 한쪽을 알면 다른 쪽은 빼기로 나옵니다. 굳이 자른 자리를 따로 세다가 다른 실수를 할 필요가 없습니다.
2.OA.A.1Make A Systematic List4STEP 4
접는 선이 왜 꼭 5개인지 알아보기
면 여섯을 잇는 데 접는 선은 언제나 5개입니다.
6 개의 면 → 6 - 1 = 5 개의 접는 선, 12 - 5 = 7 번의 자름
여섯 개를 한 덩어리로 잇는 데에는 언제나 개수보다 하나 적은 연결이 필요합니다. 여섯 명이 손을 잡고 한 줄이 되려면 잡은 손이 다섯 쌍인 것과 같고, 상자를 직접 잘라 보면 곧바로 확인됩니다.
6.G.A.4Create A Physical Representation상자의 전개도는 모양이 어떻든 언제나 접는 선이 정확히 다섯 개다.
왜?
여섯 면은 한 조각으로 이어져 있어야 하고, 여섯 조각을 하나로 잇는 데는 정확히 다섯 번의 이음이 든다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
각 접는 선은 두 면을 정확히 잇는 자르지 않은 모서리 하나이므로, 접는 선과 그 이음이 하나씩 대응된다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
정답
7, 5 개
12 − 5 = 7
두 수를 더하면 다시 12가 되어 직육면체의 모서리 수와 맞습니다. 빠뜨리거나 두 번 센 것이 없다는 뜻입니다. 상식으로 따져도 그럴듯합니다. 상자는 넉넉히 갈라 놓아야 펴지니 대부분의 모서리는 잘려야 하고, 그래도 몇 개는 붙어 있어야 전개도가 조각조각 떨어지지 않고 한 장으로 남습니다. 전개도를 다시 접어 보면 확인됩니다. 접는 선 5개가 면 6개를 세워 닫힌 상자를 만들고, 잘린 모서리 7개가 바로 그때 변끼리 맞닿는 이음매가 됩니다. 5라는 수를 그림의 점선을 세어서도 얻고 면 6개에는 연결이 5개 필요하다는 설명으로도 따로 얻었으니, 답을 두 가지 방법으로 확인한 셈입니다.
핵심 정리
상자에는 모서리가 언제나 12개예요. 납작하게 펼치려면 그중 5개는 접는 선으로 남기고 나머지 7개를 잘라야 합니다!
- 직육면체의 모서리 세기
- 전개도에서 자르지 않은 모서리 읽기
- 빼기로 잘라야 하는 모서리 구하기
- 접는 선이 왜 꼭 5개인지 알아보기
이어서 풀어볼까요