문제
제한된 범위에서 전개도 그리기
똑같은 모눈판 4개가 있고, 각 판은 가로 3칸 세로 4칸에서 맨 아랫줄 가운데 칸이 잘려 나가 쓸 수 있는 칸이 11칸입니다. 판마다 6칸을 칠해 정육면체의 전개도를 만듭니다. 돌리거나 뒤집어 같은 모양은 한 가지로 셉니다. 네 전개도가 서로 다르도록 그립니다.
사고력 · 초5-2 정육면체의 전개도
내 답
조심 전개도가 열한 가지나 되니 골라 담으면 될 것 같지만 판에 들어가는 것은 넷뿐입니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 판 위에 이런저런 모양을 그려 보다가 네 개가 되면 멈추는 방법은 느린 데다, 다섯째 답을 빠뜨렸는지 알 길이 없습니다. 훨씬 좋은 출발점이 있습니다. 정육면체의 전개도 11가지는 이 단원에서 이미 다 만들어 보았으니, 후보가 11개로 끝이 정해져 있는 상황입니다. 이럴 때야말로 가능성을 지우는 것이 찍기가 아니라 제대로 된 방법이 됩니다. 11가지를 가장 긴 직선 줄의 길이로 갈라 놓고, 각각이 최소한 몇 칸짜리 직사각형을 차지하는지 재어, 가로 3칸·세로 4칸에 아래 가운데가 파인 판에 도저히 들어갈 수 없는 것을 지웁니다. 살아남은 것을 그리고, 종이로 오려 대어 보며 정말 들어가고 정말 접히는지 확인합니다.
1STEP 1
모눈판을 꼼꼼히 읽기
쓸 수 있는 칸은 11칸뿐입니다.
3 × 3 + 2 = 11칸, 11 - 6 = 5칸이 빈 채로 남음
그리기 전에 칸마다 행과 열로 이름을 붙여 두면, 없어진 칸을 건드렸는지 그림을 노려보지 않고 수 두 개만 견주어 확인할 수 있습니다.
2.G.A.2Draw A Diagram2STEP 2
11가지 전개도를 가장 긴 직선 줄로 가르기
전개도 11가지를 가장 긴 줄로 가릅니다.
6 + 3 + 1 + 1 = 11
이미 아는 목록을 무리로 갈라 두면 "열한 가지를 다 해 보기"가 "네 무리에 대해 판단하기"로 줄어듭니다. 가장 긴 줄은 그림 위로 손가락을 미끄러뜨리며 잴 수 있는 성질입니다.
6.G.A.4Make A Systematic List열한 개의 전개도를 가장 긴 직선 구간으로 나누면, 판이 한꺼번에 판정할 수 있는 무리로 갈린다.
왜?
각 전개도의 가장 긴 구간은 하나로 정해지므로, 정확히 한 무리에만 속하고 두 무리에 걸치지 않는다.
🧱겹치지 않는 경우는 더한다어느 경우도 겹치지 않고 빠지지도 않게 나누면 각 경우의 개수를 그냥 더하면 된다.
왜?
구간이 판에 비해 너무 긴 무리는 그 안의 어느 것도 그려 보지 않고 단번에 지워진다.
🧱나머지를 지우면 남은 하나가 정해진다하나만 남기고 모든 가능성이 지워졌다면 남은 것이 답일 수밖에 없다 — 더 확인할 필요가 없다.
3STEP 3
가로 3칸짜리 줄 두 개짜리 전개도 지우기 — 너무 길다
가로 3칸 두 줄짜리는 판보다 깁니다.
2 × 5 필요, 판은 3 × 4, 5 ＞ 4
모양이 필요로 하는 최소 직사각형과 놓일 판의 크기를 견주는 일은 상상이 아니라 크기 비교입니다. 그래서 한 무리가 한 줄로 정리됩니다.
2.G.A.2Eliminate Possibilities4STEP 4
4칸짜리 줄이 있는 여섯 가지 지우기 — 없어진 칸이 막는다
4칸짜리 줄이 있는 여섯 가지는 없어진 칸에 막힙니다.
2열에 4칸짜리 줄 → (4행 2열) 필요, (4행 2열) 은 판에 없음
잘라 낸 칸 하나가 하필 4칸짜리 줄이 있는 전개도가 반드시 써야 하는 칸입니다. 파인 자리가 어디인지 알아채기만 하면 여섯 가지를 한꺼번에 지울 수 있습니다.
6.G.A.4Eliminate Possibilities5STEP 5
살아남은 것 세기 — 정확히 네 가지, 판도 네 개
남는 것은 4가지로 판의 수와 딱 맞습니다.
11 - 1 - 6 = 4
살아남은 개수와 판의 개수가 딱 맞아떨어지는 것이 빠뜨린 것이 없다는 증거입니다. 다섯이 남았다면 답이 여럿이었을 테고, 셋만 남았다면 판 하나를 채울 수 없었을 테니까요.
6.G.A.4Make A Systematic List6STEP 6
네 판에 전개도 그리기
네 판에 하나씩 그려 넣습니다.
그림으로 설명하는 대신 칸의 주소를 적어 두면 한 칸씩 그대로 옮겨 그릴 수 있고, 없어진 칸과 겹치는지도 바로 확인할 수 있습니다.
6.G.A.4Draw A Diagram7STEP 7
네 가지가 정말 서로 다른 모양인지 확인하기
네 전개도가 서로 다릅니다.
가장 긴 직선 줄의 길이는 돌리거나 뒤집어도 변하지 않습니다. 그래서 여덟 가지 놓임새를 일일이 눈으로 대조하지 않아도 모양을 공정하게 구별할 수 있습니다.
8.G.A.2Create A Physical Representation정답
4 가지
11 − 1 − 6 = 4
그린 전개도는 모두 11칸 중 정확히 6칸을 쓰고 5칸을 비워 두며, 잘려 나간 (4행 2열)을 건드리지 않습니다. 칸마다 짚어 가며 확인할 수 있습니다. 지운 개수도 딱 맞습니다. 너무 긴 것 한 가지, 없어진 칸에 막힌 것 여섯 가지를 빼면 네 가지가 남고, 11 - 1 - 6 = 4는 판의 개수와 정확히 같습니다. 운이 좋아서가 아니라 따진 것이 빠짐없다는 강한 신호입니다. 네 모양이 정말 서로 다른 것도 확인됩니다. 셋은 가장 긴 줄이 3칸이면서 남는 한 칸이 붙은 자리가 저마다 다르고, 나머지 하나는 가장 긴 줄이 2칸뿐입니다. 게다가 넷 다 오려서 접으면 정육면체로 닫히므로, 판에 들어가기만 하는 모양이 아니라 진짜 전개도입니다.
핵심 정리
이미 알고 있는 전개도 11가지에서 출발해, 판보다 큰 것과 없어진 칸에 걸리는 것을 덜어 내 보세요. 딱 네 가지가 남습니다. 판 하나에 하나씩입니다!
- 모눈판을 꼼꼼히 읽기
- 11가지 전개도를 가장 긴 직선 줄로 가르기
- 가로 3칸짜리 줄 두 개짜리 전개도 지우기 — 너무 길다
- 4칸짜리 줄이 있는 여섯 가지 지우기 — 없어진 칸이 막는다
- 살아남은 것 세기 — 정확히 네 가지, 판도 네 개
- 네 판에 전개도 그리기
- 네 가지가 정말 서로 다른 모양인지 확인하기
이어서 풀어볼까요