문제
직육면체 만들기
직사각형 6개가 어떤 직육면체의 여섯 면입니다. (1)은 3 cm×1 cm 2개, 2 cm×1 cm 2개, 3 cm×2 cm 2개입니다. (2)는 한 변 3 cm인 정사각형 2개와 3 cm×2 cm 4개입니다. 겨냥도를 그리고 모서리 길이를 표시합니다.
사고력 · 초5-2 직육면체
내 답
조심 여섯 면이니 길이도 여섯 가지 같지만 모서리 길이는 세 가지뿐입니다.
풀이 과정
전략 직접 만져보기 — 가장 확실한 방법은 직사각형 여섯 장을 두꺼운 종이에 그려 오려 낸 뒤 실제로 테이프로 붙여 보는 것입니다. 붙이려는 두 변의 길이가 다르면 애초에 붙지 않으니, 틀린 짝은 손에서 바로 걸러집니다. 그런데 똑같은 답을 훨씬 빨리 얻는 지름길도 있습니다. 여섯 조각을 세 쌍으로 갈라 놓고 한 줄에 놓인 세 직사각형에 적힌 수만 살펴보는 것입니다. 직육면체의 한 꼭짓점에는 모서리 세 개가 모이고 그 세 길이는 저마다 세 종류의 면 중 정확히 두 곳에 쓰이므로, 적힌 수만 세어 봐도 모서리 길이가 그대로 드러납니다. 그래서 나열해서 모서리를 찾고, 종이 모형과 겉넓이 계산으로 확인하기로 합니다.
1STEP 1
면이 왜 세 쌍으로 나뉘는지 살펴보기
여섯 면은 마주 보는 세 쌍으로 나뉩니다.
6 개의 면 = 3 쌍
상자를 하나 들고 앞에서 보고, 돌려서 뒤에서 보면 똑같은 직사각형이 보입니다. 그러니 어떤 모양이 다섯 장이고 다른 모양이 한 장인 상자는 있을 수 없습니다.
K.G.B.4Visualize Spatial Relationships상자의 여섯 면은 서로 맞는 세 쌍으로 나오므로, 한 모양이 다섯이고 다른 모양이 하나인 상자는 있을 수 없다.
왜?
상자를 반대쪽에서 보면 똑같은 직사각형이 보이는데, 한 면을 반대쪽으로 밀면 정확히 포개지기 때문이다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
세 모서리 길이를 둘씩 짝지으면 서로 다른 짝이 정확히 셋 나오며, 그래서 면의 종류가 셋뿐이다.
🧱독립된 선택은 곱해진다첫 선택이 a가지이고 그 각각마다 두 번째가 b가지면, 짝을 만드는 방법은 a 곱하기 b가지다.
2STEP 2
한 꼭짓점에 모이는 세 모서리에 이름 붙이기
한 꼭짓점에 모이는 세 모서리가 모두를 정합니다.
면 = (가로 × 세로), (세로 × 높이), (높이 × 가로)
세 수에서 두 개를 골라 짝짓는 방법은 세 가지뿐입니다. 직육면체의 면 종류가 딱 세 가지이고 더 늘어나지 않는 까닭이 여기에 있습니다.
6.G.A.4Visualize Spatial Relationships3STEP 3
(1) 직사각형에서 세 모서리 길이 읽어 내기
(1)의 모서리는 3, 2, 1 cm입니다.
{3,1}, {2,1}, {3,2} → 모서리 3 cm, 2 cm, 1 cm
각 수가 꼭 두 번씩 나오는지만 세면 검사는 끝납니다. 어떤 수가 한 번밖에 나오지 않으면 그 변에 붙일 짝이 없어서 상자가 끝내 닫히지 않습니다.
6.G.A.4Make A Systematic List4STEP 4
(1) 조각이 실제로 맞물리는지 확인하기
여섯 조각이 서로 맞물립니다.
여섯 조각을 오려서 직접 붙여 보면 압니다. 짝을 잘못 지으면 붙여야 할 두 변의 길이가 달라서 그 자리에서 바로 어긋납니다.
6.G.A.4Create A Physical Representation5STEP 5
(1) 겨냥도를 그리고 길이 표시하기
겨냥도를 그리고 모서리 12개에 길이를 적습니다.
4 + 4 + 4 = 12 개의 모서리
겨냥도는 직사각형 하나, 그것을 비스듬히 옮겨 그린 것 하나, 그리고 대응하는 꼭짓점을 이은 선이 전부입니다. 보이지 않는 모서리 3개를 점선으로 그려야 비로소 입체로 보입니다.
2.G.A.1Draw A Diagram6STEP 6
(2) 정사각형이 섞인 경우도 같은 방법으로
(2)는 정사각형 면이 있어 모서리가 3, 3, 2 cm입니다.
3 × 3, 3 × 2, 3 × 2 → 모서리 3 cm, 3 cm, 2 cm
세 모서리 중 두 개의 길이가 같아도 괜찮습니다. 그저 세 종류의 면 중 두 종류가 똑같아져서 여섯 조각 가운데 네 개가 같은 모양으로 보일 뿐입니다.
6.G.A.4Make A Systematic List7STEP 7
(2) 겨냥도를 그리고 길이 표시하기
같은 방법으로 겨냥도를 그려 표시합니다.
방향마다 모서리 하나씩만 표시해도 충분합니다. 직육면체에서 평행한 모서리는 언제나 길이가 같으니, 윗면 네 변에 모두 3 cm라고 써 봐야 새로 알려 주는 것이 없습니다.
2.G.A.1Draw A Diagram8STEP 8
조각의 넓이의 합으로 확인하기
조각의 넓이를 더해 보아도 맞습니다.
2(3{×}2 + 3{×}1 + 2{×}1) = 22 cm², 2(3{×}3 + 3{×}2 + 3{×}2) = 42 cm²
조각을 붙인다고 종이가 늘거나 줄지 않으니 넓이는 정확히 같아야 합니다. 공간 문제의 답을 간단한 계산으로 검산하는 좋은 방법입니다.
6.G.A.4Make A Systematic List정답
3, 2, 1 / 3, 3, 2 cm
3 × 2, 3 × 1, 2 × 1
두 답 모두 세 모서리 길이가 직사각형에 실제로 적혀 있던 수뿐이고 새로 만들어 낸 수가 없습니다. 직육면체의 모서리는 언제나 주어진 면 두 개가 공유하는 변이니 당연히 그래야 합니다. 짝짓기 검사도 양쪽으로 통과합니다. 모서리가 3, 2, 1이면 면은 3 × 2, 2 × 1, 1 × 3이 되어 (1)의 여섯 조각과 정확히 같고, 모서리가 3, 3, 2이면 면은 3 × 3, 3 × 2, 2 × 3이 되어 (2)와 정확히 같습니다. 겉넓이도 종이의 넓이와 맞아 각각 22 cm², 42 cm²입니다. 마지막으로 크기도 그럴듯합니다. 첫째는 도미노만 한 납작한 판이고 둘째는 낮은 네모 상자인데, 실제로 조각을 붙여 보면 나오는 모양 그대로입니다.
핵심 정리
상자는 수 세 개로 만들어지고, 그 수 하나하나가 세 종류의 면 중 꼭 두 곳에 나타나야 해요. 직사각형에 적힌 수만 세어도 상자가 보입니다!
- 면이 왜 세 쌍으로 나뉘는지 살펴보기
- 한 꼭짓점에 모이는 세 모서리에 이름 붙이기
- (1) 직사각형에서 세 모서리 길이 읽어 내기
- (1) 조각이 실제로 맞물리는지 확인하기
- (1) 겨냥도를 그리고 길이 표시하기
- (2) 정사각형이 섞인 경우도 같은 방법으로
- (2) 겨냥도를 그리고 길이 표시하기
- 조각의 넓이의 합으로 확인하기
이어서 풀어볼까요