문제
색종이 자르기
정사각형 색종이를 아래로 한 번, 오른쪽으로 한 번 접으면 네 겹이 됩니다. 작은 정사각형은 처음 크기의 4분의 1입니다. 색칠한 부분을 오리면 네 겹이 한꺼번에 잘립니다. 펼쳤을 때 남는 모양을 (1)과 (2) 각각 그립니다.
사고력 · 초4-1 색종이 겹치기, 접기, 자르기
내 답
조심 오린 자리가 하나로 보이지만 네 겹이라 펼치면 구멍이 네 개가 됩니다.
풀이 과정
전략 공간 상상하기 — 이 문제는 결국 작은 정사각형의 한 조각이 겹을 펼쳤을 때 어디로 가는지를 묻습니다. 그러니 두 접는 선을 머릿속에 붙들어 두고, 작은 정사각형의 네 변 중 어느 것이 접힌 자국이고 어느 것이 종이의 바깥 가장자리인지부터 확실히 해야 합니다. 그다음에는 접은 순서를 거꾸로 밟아 한 번에 하나씩 펴면서, 펼 때마다 구멍을 접는 선에 대해 뒤집어 복사하면 됩니다. 이것이 바로 거꾸로 풀기입니다. 잘 그려지지 않으면 진짜 종이를 접어 색칠한 부분을 오려 내고 펴 보면 십 초 만에 해결됩니다.
1STEP 1
작은 정사각형이 원래 종이의 어디인지 찾기
손에 든 것은 종이의 오른쪽 아래 4분의 1입니다.
지금 들고 있는 것이 어느 4분의 1인지, 그 네 변 중 어느 것이 접힌 자국인지를 적어 두는 것만으로 나머지가 어림짐작이 아니라 또렷한 추론이 됩니다.
4.G.A.1Visualize Spatial Relationships2STEP 2
한 번의 가위질이 네 겹에 무슨 일을 하는지 보기
네 겹을 한 번에 자르니 펼치면 구멍이 4개입니다.
접는 선은 거울입니다. 한쪽에 있는 것이 반대쪽에 뒤집혀 나타나는데, 그것이 바로 대칭축이 하는 일입니다.
4.G.A.3Visualize Spatial Relationships접힌 종이를 한 번 자르면 구멍이 네 개 생기는데, 각 접힌 선이 한쪽에 있는 것을 그대로 비추기 때문이다.
왜?
접힌 선은 잘린 점 하나하나를 같은 거리의 짝으로 곧장 보내므로, 접힌 선마다 자른 결과가 두 배가 된다.
🧱접은 선은 거울선이다접기는 한 점을 내려앉는 자리에 포개므로, 접힌 선은 두 점에서 같은 거리에 있고 둘을 이은 선분과 직각으로 만난다.
왜?
두 접힌 선은 잇따라 작용하고 서로를 제한하지 않으므로, 두 배가 곱해져 네 개의 복사본이 된다.
🧱독립된 선택은 곱해진다첫 선택이 a가지이고 그 각각마다 두 번째가 b가지면, 짝을 만드는 방법은 a 곱하기 b가지다.
3STEP 3
미덥지 않으면 진짜 종이로 해 보기
미덥지 않으면 실제 종이로 접고 오려 봅니다.
직접 종이를 만지면 상상해야 할 일이 그냥 보고 확인하는 일로 바뀝니다. 머리로 구한 답을 검산하는 가장 빠른 길이기도 합니다.
4.G.A.3Create A Physical Representation4STEP 4
(1) 구멍이 종이 전체에서 어디인지 잡기
(1)의 구멍은 접힌 선이 아닌 바깥 모퉁이에 붙어 있습니다.
1/2 × 1/2 = 1/4
절반의 절반은 4분의 1입니다. 그러니 모퉁이의 작은 정사각형은 큰 종이의 각 변을 4분의 1만큼 차지합니다. 그리기 전에 표시해 두기 쉬운 길이입니다.
4.NF.B.4Visualize Spatial Relationships5STEP 5
(1) 펼쳐서 그리기
펼치면 네 모퉁이가 잘려 십자 모양이 남습니다.
접은 순서를 거꾸로 밟아 하나씩 펴면 한 번에 뒤집힌 모습 하나만 떠올리면 됩니다. 네 개를 한꺼번에 그리려 애쓰는 것보다 훨씬 안전합니다.
4.G.A.3Work Backwards6STEP 6
(1) 얼마나 잘려 나갔는지 확인하기
모퉁이 넷이 1/4이므로 남는 것은 3/4입니다.
4 × 1/16 = 4/16 = 1/4, 1 - 1/4 = 3/4
똑같은 구멍 네 개를 종이 전체에 대한 분수로 세어 보면, 구멍 하나를 빠뜨렸거나 하나를 더 그렸는지 숫자로 금방 걸러 낼 수 있습니다.
4.NF.B.4Work Backwards7STEP 7
(2) 삼각형이 종이 전체에서 어디인지 잡기
(2)의 삼각형은 두 접는 선이 만나는 종이 한가운데에 있습니다.
색칠된 삼각형의 뾰족한 모퉁이가 종이의 모퉁이가 아니라 한가운데라는 것을 알아채는 것이 이 문제의 핵심입니다. 자른 자리가 두 접는 선에 닿아 있으니 복사된 것들이 흩어지지 않고 가운데에서 서로 만납니다.
4.G.A.1Visualize Spatial Relationships8STEP 8
(2) 펼쳐서 그리기
펼치면 네 삼각형이 모여 가운데에 마름모 구멍이 납니다.
자른 자리가 두 접는 선을 따라 나 있으니 거울에 비친 복사본들이 떨어져 있지 않고 변끼리 맞붙습니다. 작은 삼각형 네 개가 깔끔한 마름모 하나로 합쳐지는 까닭입니다.
4.G.A.3Work Backwards9STEP 9
(2) 얼마나 잘려 나갔는지 확인하기
구멍이 1/8이므로 남는 것은 7/8입니다.
4 × 1/32 = 4/32 = 1/8, 1 - 1/8 = 7/8
답을 종이 전체에 대한 분수로 바꿔 보면 그림과 견줄 크기가 생깁니다. 구멍을 너무 크게 또는 너무 작게 그린 실수를 잡아낼 수 있습니다.
4.NF.B.4Work Backwards정답
3/4, 7/8 만큼 남음
4 × 1/16 = 1/4, 4 × 1/32 = 1/8
펼 때마다 거울에 비친 모습이 생기므로 두 답 모두 가로 가운데 선에 대해서도, 세로 가운데 선에 대해서도 대칭이어야 하는데 실제로 그렇습니다. 십자 모양도, 가운데의 마름모도 어느 쪽으로 뒤집어도 같은 모습입니다. 크기도 그럴듯합니다. (1)은 종이의 4분의 1이 사라지고 4분의 3이 남으며 (2)는 8분의 1이 사라지고 8분의 7이 남는데, 두 경우 모두 그려진 구멍 네 개가 접힌 종이 위의 색칠한 부분과 크기와 모양이 같습니다. 마지막으로 (1)에서는 자른 자리가 열린 가장자리에만 닿았고 구멍이 정말 종이 바깥쪽에 나왔으며, (2)에서는 접힌 선에만 닿았고 구멍이 한가운데에 나왔습니다. 접는 선에 관한 규칙이 예고한 그대로입니다.
핵심 정리
접는 선은 모두 거울이에요. 접은 순서를 거꾸로 하나씩 펴면서 구멍을 접는 선에 대해 뒤집어 보세요. 열린 가장자리에 닿은 구멍은 모퉁이로, 접는 선에 닿은 구멍은 한가운데로 갑니다.
- 작은 정사각형이 원래 종이의 어디인지 찾기
- 한 번의 가위질이 네 겹에 무슨 일을 하는지 보기
- 미덥지 않으면 진짜 종이로 해 보기
- (1) 구멍이 종이 전체에서 어디인지 잡기
- (1) 펼쳐서 그리기
- (1) 얼마나 잘려 나갔는지 확인하기
- (2) 삼각형이 종이 전체에서 어디인지 잡기
- (2) 펼쳐서 그리기
- (2) 얼마나 잘려 나갔는지 확인하기
이어서 풀어볼까요