문제
한 줄의 합을 이용하여 문제 해결하기
ㄴ자 모양 10칸에 1부터 10까지를 한 칸에 하나씩 써넣습니다. 세로줄 6칸과 가로줄 5칸이 한 칸을 함께 씁니다. 세로줄의 합은 33, 가로줄의 합은 30입니다. 함께 쓰는 칸의 수를 구합니다.
사고력 · 초5-2 마방진의 기초
내 답
조심 6 + 5 = 11칸 같지만 실제 칸은 10개라 한 칸이 두 번 세어집니다.
풀이 과정
전략 관점 바꾸기 — 어느 칸에 어떤 수가 들어가는지 일일이 따지려면 엄청나게 많은 경우를 시험해야 합니다. 그래서 관점을 바꾸어 칸 하나하나에는 관심을 끊고, 같은 수들의 모임을 두 가지 방식으로 세기만 합니다. 칸별로 한 번, 줄별로 한 번입니다. 두 테두리는 겹치는 부분이 ㉠ 한 칸뿐인 벤 다이어그램의 두 원과 똑같이 행동하므로, 두 줄의 합을 더하면 모든 칸이 한 번씩 세어지되 ㉠만 두 번 세어집니다. 이것을 1부터 10까지의 합과 견주면 배열을 하나도 정하지 않고도 ㉠이 바로 나옵니다.
1STEP 1
칸을 세어 두 번 세어진 칸 찾아내기
6 + 5는 11인데 칸은 10개라 한 칸이 겹칩니다.
6 + 5 = 11, 11 - 10 = 1 칸이 두 번 세어짐
테두리 안의 칸 수를 세어 실제로 그려진 칸 수와 견주는 것은 단순한 세기일 뿐이지만, 남는 1이 두 선에 함께 속한 모퉁이 칸을 곧장 가리켜 줍니다.
2.OA.A.1Draw A Diagram2STEP 2
열 개의 수를 모두 더하기
1부터 10까지의 합은 55입니다.
1+2+3+…+10 = 5 × 11 = 55
가장 작은 수와 가장 큰 수를 짝지으면 긴 덧셈이 똑같은 11 다섯 개로 바뀝니다. 모든 수를 한 번씩 쓰므로 55는 배치를 정하기 전에 이미 정해져 있습니다.
3.OA.A.3Look For A Pattern3STEP 3
두 줄의 합을 더하고 무엇을 센 것인지 따지기
두 줄의 합은 63입니다.
33 + 30 = 63 = (열 수의 합) + ㉠
같은 모임을 두 가지 방법으로 세었을 때 결과가 달라도 좋습니다. 다만 그 차이가 무엇인지 정확히 말할 수 있어야 하는데, 여기서는 ㉠ 하나를 더 센 것입니다.
4.OA.A.3Change Focus Count The Complement두 줄의 합을 더하면 공유된 칸만 두 번 세어지고 나머지 칸은 한 번씩 세어진다.
왜?
공유된 칸은 두 줄에 모두 놓여 있어 각 줄에서 한 번씩 세어지지만, 다른 칸은 한 줄에만 속한다.
🧱두 번 세었으면 반으로모든 것을 양쪽 끝에서 한 번씩 세었다면 합계는 정확히 두 배이므로 반으로 나누면 바로잡힌다.
왜?
따라서 합친 총합은 열 개의 수에 공유된 칸 하나를 더 얹은 것이므로, 그 여분을 떼어 낼 수 있다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
4STEP 4
㉠ 구하기
차가 곧 겹친 칸이라 8입니다.
55 + ㉠ = 63 → ㉠ = 63 - 55 = 8
겹치는 부분이 무엇인지 말로 설명하고 나면, 그것을 구하는 일은 100 이내의 뺄셈 한 번으로 끝납니다. 배열을 뒤질 필요가 없습니다.
2.NBT.B.5Draw A Venn Diagram5STEP 5
실제로 되는 배치 하나 보이기
실제 배치를 하나 만들어 보아도 맞습니다.
8+1+2+3+9+10 = 33, 8+4+5+6+7 = 30
실제 배치를 하나 만들어 보이면, 답이 계산만 살아남은 수가 아니라 정말로 가능한 수라는 것이 확인됩니다.
4.OA.A.3Draw A Diagram정답
8
63 − 55 = 8
㉠은 1부터 10까지 중 하나여야 하는데 8은 그 범위 안에 있습니다. 크기도 그럴듯합니다. 빨간 줄은 수 6개로 33이니 한 수가 평균 5.5쯤이고, 파란 줄은 수 5개로 30이니 한 수가 평균 정확히 6입니다. 두 줄에 동시에 속하는 칸에 8처럼 조금 큰 수가 앉는 것은 이상하지 않습니다. 검산용 배치로 빨간 세로줄에 8, 1, 2, 3, 9, 10을, 파란 가로줄에 8, 4, 5, 6, 7을 넣으면 1부터 10까지를 한 번씩 쓰면서 33과 30을 정확히 맞춥니다.
핵심 정리
두 줄의 합을 더해 보세요. 두 번 세어지는 칸은 두 줄이 만나는 모퉁이 하나뿐이므로, 남는 만큼이 바로 그 자리에 숨어 있던 수입니다.
- 칸을 세어 두 번 세어진 칸 찾아내기
- 열 개의 수를 모두 더하기
- 두 줄의 합을 더하고 무엇을 센 것인지 따지기
- ㉠ 구하기
- 실제로 되는 배치 하나 보이기
이어서 풀어볼까요