문제
겹쳐진 도형의 넓이
한 변이 7 cm인 정사각형과 10 cm인 정사각형을 겹쳐 놓았습니다. 겹친 넓이는 알려 주지 않습니다. 각 정사각형에서 겹치지 않은 부분이 색칠되어 있습니다. 두 색칠된 부분의 넓이의 차를 구합니다.
사고력 · 초5-1 도형의 넓이
내 답
조심 겹친 넓이를 구해야 할 것 같지만 차를 구하면 그대로 지워집니다.
풀이 과정
전략 관점 바꾸기 — 문제가 끝내 알려 주지 않는 것이 겹친 부분의 크기입니다. 알려 주지 않는다는 것은 곧 필요하지 않다는 신호입니다. 그러니 겹친 부분을 애써 찾으려 하지 말고, 그림에 세 영역, 곧 작은 정사각형에만 속한 부분과 겹친 부분, 큰 정사각형에만 속한 부분에 이름을 붙여 봅니다. 그러면 색칠된 두 부분이 각각 '자기 정사각형에서 똑같은 겹친 직사각형을 뺀 것'임이 드러납니다. 두 부분을 견주면 같은 직사각형이 양쪽에서 함께 빠지므로 서로 지워집니다. 정말 지워지는지 눈으로 확인하려고, 마지막에는 겹친 부분의 크기를 두 가지로 정해 넣어 차가 그대로인지 검사합니다.
1STEP 1
그림의 세 영역에 이름 붙이기
그림을 작은 쪽, 겹친 곳, 큰 쪽 셋으로 나눕니다.
영역마다 이름을 붙여 두면 무엇을 한 번 세었고 무엇을 두 번 세었는지 헷갈리지 않습니다. 이 문제에 필요한 정리는 그것뿐입니다.
3.MD.C.5Draw A Diagram2STEP 2
두 정사각형의 넓이 각각 구하기
두 정사각형의 넓이는 49와 100입니다.
7 × 7 = 49 cm², 10 × 10 = 100 cm²
정사각형은 가로와 세로가 같은 직사각형이므로, 익숙한 가로 곱하기 세로만으로 넓이가 바로 나옵니다.
3.MD.C.7Draw A Diagram3STEP 3
색칠된 부분을 '정사각형 빼기 겹친 넓이'로 나타내기
색칠된 부분은 정사각형에서 겹친 넓이를 뺀 것입니다.
작은 쪽 색칠 = 49 - 겹친 넓이, 큰 쪽 색칠 = 100 - 겹친 넓이
도형 전체의 넓이는 잘라 놓은 조각들의 넓이를 더한 것입니다. 그러니 함께 쓰는 조각을 덜어내면 정확히 색칠된 조각만 남습니다.
3.MD.C.7Change Focus Count The Complement4STEP 4
차를 구하며 겹친 넓이가 지워지는 것 보기
차를 구하면 겹친 넓이가 지워집니다.
(100 - 겹친 넓이) - (49 - 겹친 넓이) = 100 - 49 = 51 cm²
두 수에서 똑같은 수를 빼면 둘 사이의 차는 그대로입니다. 두 사람이 같은 금액을 썼다면 저금액 차이가 변하지 않는 것과 같은 이치입니다.
4.OA.A.3Change Focus Count The Complement색칠된 두 부분의 차를 구하면 겹친 부분이 지워지므로, 그 크기를 구할 필요가 전혀 없다.
왜?
같은 겹침이 두 정사각형에서 똑같이 빠지므로, 두 결과를 빼면 정사각형 사이의 차가 건드려지지 않은 채 남는다.
🧱둘을 같이 옮기면 차는 그대로두 점을 수직선에서 같은 거리만큼 밀면 둘 사이의 간격은 결코 변하지 않는다.
왜?
색칠된 각 부분은 그 정사각형에서 겹침을 덜어낸 것이므로, 두 설명을 정확히 맞댈 수 있다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
5STEP 5
겹친 넓이를 두 가지로 정해 넣어 검사하기
그래서 차는 100 − 49 = 51 cm²입니다.
92 - 41 = 51, 85 - 34 = 51
구체적인 수를 몇 개 넣어 보면 모르는 값이 정말로 아무 영향을 주지 않는다는 것이 눈에 보입니다. 계산도 암산으로 두 번쯤 해 볼 만큼 간단합니다.
3.NBT.A.2Guess And Check정답
51 cm²
100 − 49 = 51
구한 값은 넓이이므로 cm² 단위가 맞습니다. 또 큰 정사각형 전체인 100 cm²보다 작아야 하는데 실제로 작습니다. 부호도 맞습니다. 10 cm짜리가 더 큰 정사각형이므로 덮이지 않은 부분도 그쪽이 더 넓고, 차는 양수입니다. 그리고 51은 두 정사각형 넓이의 차인 100 - 49와 정확히 같은데, 이는 풀이가 가리키던 자리입니다. 흰 직사각형이 얼마나 크든 양쪽에서 똑같이 빠졌으므로 차이는 그대로 남는 것입니다.
핵심 정리
두 수에서 똑같은 만큼을 덜어내면 둘 사이의 차이는 절대 변하지 않아요. 그래서 잴 수 없는 겹친 부분은 아무 상관이 없답니다!
- 그림의 세 영역에 이름 붙이기
- 두 정사각형의 넓이 각각 구하기
- 색칠된 부분을 '정사각형 빼기 겹친 넓이'로 나타내기
- 차를 구하며 겹친 넓이가 지워지는 것 보기
- 겹친 넓이를 두 가지로 정해 넣어 검사하기