문제
마방진
가로 4칸, 세로 4칸인 표에 일곱 개의 수가 이미 적혀 있습니다. 1부터 16까지를 한 번씩 써넣습니다. 모든 가로줄, 세로줄, 두 대각선의 합이 같아야 합니다. 빈칸을 모두 채웁니다.
사고력 · 초5-2 여러 가지 마방진
내 답
조심 합을 짐작해 채우고 싶지만 전체 합을 넷으로 나누면 공통의 합이 바로 나옵니다.
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기 — 빈칸 아홉 개를 한꺼번에 머릿속에 담기는 어렵습니다. 그런데 빈칸이 하나뿐인 줄은 뺄셈 한 번이면 끝나는 작은 문제입니다. 빠진 수는 공통의 합에서 보이는 세 수를 빼면 나오기 때문입니다. 그래서 먼저 공통의 합을 구해 두고, 그다음에는 언제나 빈칸이 가장 적은 줄을 찾아 채우고 다시 둘러보기를 되풀이합니다. 수를 하나 써넣을 때마다 어딘가의 줄이 빈칸 하나짜리로 바뀌기 때문에 이 방법이 계속 이어집니다. 조심할 곳은 빈칸이 둘인 줄 한 군데뿐인데, 거기서는 조건에 맞는 두 수의 짝을 모두 적어 놓고 다른 줄과 부딪히는 것을 지워 나갑니다.
1STEP 1
수를 쓰기 전에 공통의 합부터 구하기
1부터 16까지의 합이 136이라 한 줄은 34입니다.
1+2+3+…+16 = 8 × 17 = 136, 136 ÷ 4 = 34
'먼저 합을 구하고 그다음에 칸을 채운다'로 문제를 둘로 쪼개면, 빈칸 아홉 개짜리 수수께끼가 확인 가능한 목표 수 하나로 바뀝니다.
4.OA.A.3Identify Subproblems2STEP 2
이미 세 수가 적힌 줄부터 채우기
세 수가 있는 줄을 채우면 2가 나옵니다.
15+12+5 = 32, 34-32 = 2
빈칸이 딱 하나인 줄은 가장 쉬운 작은 문제입니다. 뺄셈 한 번이면 끝나니까요. 첫수는 언제나 가장 많이 채워진 줄에 두어야 합니다.
3.NBT.A.2Identify Subproblems빈칸이 정확히 하나인 줄은 가장 쉬운 작은 문제인데, 뺄셈 한 번이면 끝나기 때문이다.
왜?
줄의 합은 네 수를 더한 것이므로, 합과 그중 셋을 알면 되찾을 부분이 하나 남는다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
들어맞는 값이 하나뿐이므로 짐작할 것이 없고 그 칸은 강제된다.
🧱나머지를 지우면 남은 하나가 정해진다하나만 남기고 모든 가능성이 지워졌다면 남은 것이 답일 수밖에 없다 — 더 확인할 필요가 없다.
3STEP 3
첫째 세로줄이 두 수를 좁혀 준다
첫째 세로줄이 13과 16으로 좁혀집니다.
34-(3+2) = 29; 13+16 = 29, 14+15 = 29
빈칸이 둘이면 한 번에 끝낼 수는 없지만, 목표에 닿는 짝을 몇 개 적어 볼 수는 있습니다. 수가 16까지뿐이라 29처럼 큰 합은 짝이 둘밖에 나오지 않습니다.
3.NBT.A.2Make A Systematic List4STEP 4
13과 16 중 어느 것이 위인지 가리기
대각선을 보면 13이 위로 갑니다.
16+8+12 = 36 ＞ 34
후보가 둘뿐일 때는 어림짐작할 필요가 없습니다. 하나를 넣어 목표 34를 넘기는 것을 확인하면 나머지 하나가 답입니다. 36과 34를 견주는 계산이면 충분합니다.
3.NBT.A.2Eliminate Possibilities5STEP 5
셋째 줄에 빈칸이 하나만 남았다
셋째 줄의 빈칸은 9입니다.
16+5+4 = 25, 34-25 = 9
수를 하나 쓸 때마다 다른 줄이 빈칸 하나짜리로 바뀝니다. 첫째 세로줄에 16을 써넣은 덕분에 셋째 줄이 뺄셈 한 번으로 풀린 것입니다.
3.NBT.A.2Identify Subproblems6STEP 6
이번에는 반대쪽 대각선이 풀린다
반대쪽 대각선에서 14가 나옵니다.
3+8+9 = 20, 34-20 = 14
대각선은 잊기 쉽지만 줄이나 세로줄과 똑같은 하나의 줄입니다. 지금은 빈칸이 하나뿐인 줄이 이 대각선밖에 없으니 여기부터 손대야 합니다.
3.NBT.A.2Identify Subproblems7STEP 7
둘째 줄을 끝내면 넷째 세로줄이 저절로 맞는다
둘째 줄을 끝내면 넷째 세로줄이 저절로 맞습니다.
13+8+12 = 33, 34-33 = 1; 15+1+4+14 = 34
일부러 맞추지 않았는데도 저절로 다 차서 34가 되는 줄은 지금까지 아무 문제가 없었다는 공짜 검산입니다.
3.NBT.A.2Identify Subproblems8STEP 8
셋째 세로줄, 그리고 마지막 두 칸
셋째 세로줄과 마지막 두 칸을 채웁니다.
34-(12+9+7) = 6; 34-(2+7+14) = 11; 34-(3+6+15) = 10
여기까지 오면 남은 줄마다 빈칸이 딱 하나씩이라, 표가 뺄셈 하나씩으로 스스로 완성됩니다. 어림짐작할 자리가 없습니다.
3.NBT.A.2Identify Subproblems9STEP 9
열 개의 줄과 열여섯 개의 수 모두 확인하기
열 개의 줄이 모두 34입니다.
줄 열 개의 합과 크기순 목록 하나면 검산이 끝납니다. 모든 칸을 어림이 아니라 뺄셈으로 강제로 정했으므로, 이 표는 주어진 일곱 수에 맞는 유일한 답입니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List정답
3 10 6 15 / 13 8 12 1 / 16 5 9 4 / 2 11 7 14
136 ÷ 4 = 34
공통의 합은 34 말고는 될 수 없습니다. 열여섯 개의 수를 다 더하면 136이고 네 줄이 그것을 똑같이 나누어 가지므로 136 ÷ 4 = 34이기 때문입니다. 크기로 보아도 알맞습니다. 1부터 16까지의 한가운데는 8.5이고 네 수를 모으면 4 × 8.5 = 34이니까요. 줄 열 개를 모두 다시 더해 보아도 하나같이 34이고, 열여섯 개의 수를 크기순으로 늘어놓으면 정확히 1부터 16까지로 겹치는 수가 없습니다. 모든 빈칸이 뺄셈으로 강제되었고, 선택의 여지가 있었던 단 한 곳(첫째 세로줄의 13과 16)도 16 + 8 + 12 = 36이 이미 34를 넘긴다는 사실로 정해졌으므로 이 배치가 유일한 답입니다.
핵심 정리
모든 줄이 맞추어야 할 합을 먼저 구하세요. 그다음에는 언제나 빈칸이 하나뿐인 줄부터 채우면 됩니다. 표가 스스로 완성되니 어림짐작은 필요 없습니다.
- 수를 쓰기 전에 공통의 합부터 구하기
- 이미 세 수가 적힌 줄부터 채우기
- 첫째 세로줄이 두 수를 좁혀 준다
- 13과 16 중 어느 것이 위인지 가리기
- 셋째 줄에 빈칸이 하나만 남았다
- 이번에는 반대쪽 대각선이 풀린다
- 둘째 줄을 끝내면 넷째 세로줄이 저절로 맞는다
- 셋째 세로줄, 그리고 마지막 두 칸
- 열 개의 줄과 열여섯 개의 수 모두 확인하기
이어서 풀어볼까요