문제
전개도에서 서로 마주 보는 면 찾기
정사각형 다섯 개가 계단 모양으로 이어져 있습니다. 맨 위 칸에는 별표가 찍혀 있습니다. 정사각형을 딱 한 개만 더 붙입니다. 전개도가 되는 자리를 모두 구합니다.
사고력 · 초5-2 정육면체의 전개도
내 답
조심 몇 자리만 살펴보고 끝내기 쉽지만 붙일 수 있는 곳은 아홉 자리입니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 여섯째 칸을 붙일 수 있는 자리는 개수가 적고 남김없이 헤아릴 수 있습니다. 계단 모양의 바깥 둘레를 한 바퀴 따라가며 비어 있는 변을 표시하면 후보가 9개로 딱 떨어지고, 이렇게 유한한 목록이 나오는 상황이야말로 전부 나열한 뒤 하나씩 지워 가는 방법이 정직하게 통하는 자리입니다. 다만 아홉 개를 무작정 시험하기 전에 알아 둘 지름길이 하나 있습니다. 이미 있는 다섯 칸을 먼저 접어서 정육면체의 어느 면을 덮는지 보는 것입니다. 여섯 면 중 다섯 면이 채워지고 그중 두 쌍이 서로 마주 보는 짝이 되는데, 짝을 찾지 못한 칸이 하나 남습니다. 그러면 여섯째 칸은 반드시 그 칸의 짝이 되어야 합니다. 이 사실 하나로 되는 자리와 안 되는 자리가 모두 설명됩니다. 마지막에는 완성된 그림 위로 주사위를 굴려 보거나 종이를 오려 접어 보면서 판정을 손으로 확인합니다.
1STEP 1
모자란 칸은 딱 하나
모자란 칸은 딱 하나입니다.
6 - 5 = 1
정육면체의 면을 세어 보고 이미 그려진 칸 수를 빼는 것은 간단한 뺄셈이지만, 이 문제가 허락하는 자유가 어디까지인지를 딱 잘라 정해 줍니다.
K.G.B.4Make A Systematic List2STEP 2
붙일 수 있는 자리를 모두 적어 보기
붙일 수 있는 자리는 아홉 곳입니다.
비어 있는 변 9 → 붙일 수 있는 자리 9
둘레를 한 번 훑으면서 빈 변을 빠짐없이 표시하면 목록이 완전하다는 것이 보장됩니다. 답을 하나도 놓치지 않았다고 말할 수 있는 방법은 이것뿐입니다.
1.G.A.2Make A Systematic List3STEP 3
다섯 칸을 접어 짝 없는 면 찾기
다섯 칸을 접어 짝 없는 면을 찾습니다.
(1행 3열) ⇔ (3행 2열), (2행 3열) ⇔ (3행 1열), (2행 2열) ⇔ 새로 그리는 칸
여섯 면은 마주 보는 세 쌍을 이루므로 다섯 면의 자리가 정해지면 남은 한 면은 완전히 못 박힙니다. 문제 전체가 '(2행 2열)의 짝은 어디에 놓이는가'라는 한 문장으로 줄어드는 셈입니다.
6.G.A.4Create A Physical Representation4STEP 4
한 점에 네 칸이 모이는 세 자리 지우기
한 점에 네 칸이 모이는 세 자리를 지웁니다.
한 점에 모인 정사각형 4 ＞ 3 = 정육면체 한 꼭짓점에 모이는 면의 수
두 칸씩 네모난 덩어리는 접어 보지 않아도 눈으로 알아볼 수 있습니다. 그래서 아홉 후보 중 셋이 한눈에 떨어져 나갑니다.
6.G.A.4Eliminate Possibilities한 꼭짓점 둘레에 네 칸이 모이게 하는 자리는 불가능하므로, 그런 배치는 지워진다.
왜?
정육면체의 모든 꼭짓점에서 만나는 면은 정확히 셋이므로, 넷을 요구하는 배치는 곧바로 무너진다.
🧱반례 하나면 '언제나'는 무너진다모든 경우에 대한 주장은 실패하는 경우 하나를 보이는 순간 무너지며, 보이는 편이 따지는 편보다 쉽다.
왜?
불가능한 자리를 모두 지우고 나면, 남은 것만이 접어 볼 값어치가 있는 배치다.
🧱나머지를 지우면 남은 하나가 정해진다하나만 남기고 모든 가능성이 지워졌다면 남은 것이 답일 수밖에 없다 — 더 확인할 필요가 없다.
5STEP 5
이미 있는 칸과 겹쳐지는 두 자리 지우기
이미 있는 칸과 겹치는 두 자리도 지웁니다.
(0행 3열) → (3행 1열)의 면, (3행 0열) → (1행 3열)의 면
겹침은 필요해 보이는 것보다 두세 칸 더 굴려 봐야 잡힙니다. 평면 그림만 보면 전혀 보이지 않지만, 주사위가 같은 면을 두 번 내려놓는 순간 확실해집니다.
6.G.A.4Visualize Spatial Relationships6STEP 6
남은 네 자리가 정말 접히는지 확인하기
남은 네 자리는 모두 접힙니다.
(1행 4열), (2행 4열), (4행 1열), (4행 2열)
후보 9곳에서 꼭짓점 때문에 3곳, 겹침 때문에 2곳이 빠지면 4곳이 남습니다. 책이 인쇄해 둔 빈 그림도 정확히 네 개이니, 개수 자체가 빠뜨린 답이 없다고 말해 줍니다.
6.G.A.4Create A Physical Representation정답
4 자리
9 − 3 − 2 = 4
네 개의 답이 책에 인쇄된 빈 그림 네 개를 정확히 채웁니다. 꼭짓점 때문에 안 되는 3곳, 겹침 때문에 안 되는 2곳, 되는 4곳을 합하면 후보 9곳이 남김없이 설명됩니다. 네 답 모두 3단계에서 찾은 짝짓기 규칙을 지켜 새 칸이 언제나 (2행 2열)의 맞은편에 놓이고, 완성된 네 전개도 어디에서나 별표의 맞은편은 여전히 (3행 2열)입니다. 원래 다섯 칸의 서로에 대한 위치가 전혀 바뀌지 않았으니 당연한 결과입니다. 답마다 칸이 정말 6개이고, 접으면 빈 면도 겹치는 면도 없이 정육면체가 닫힙니다.
핵심 정리
이미 있는 다섯 칸을 먼저 접어 짝이 없는 면을 찾으면, 여섯째 칸은 그 짝이 될 수 있는 자리에만 놓을 수 있습니다. 그런 자리가 네 곳입니다!
- 모자란 칸은 딱 하나
- 붙일 수 있는 자리를 모두 적어 보기
- 다섯 칸을 접어 짝 없는 면 찾기
- 한 점에 네 칸이 모이는 세 자리 지우기
- 이미 있는 칸과 겹쳐지는 두 자리 지우기
- 남은 네 자리가 정말 접히는지 확인하기
이어서 풀어볼까요