문제
도형의 개수
성냥개비로 삼각형을 이어 붙여 한 줄로 늘어놓습니다. 첫 삼각형은 3개, 그다음부터는 앞 삼각형과 변 하나를 함께 씁니다. 삼각형 21개를 세는 세 식은 1+2×21, 3+2×20, 3×11+10으로 모두 43입니다. 세 식이 각각 어떤 방법으로 센 것인지 밝힙니다.
사고력 · 초5-1 규칙과 대응
내 답
조심 식이 다르니 값도 다를 것 같지만 셋 다 같은 43을 다르게 센 것입니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 먼저 삼각형을 하나, 둘, 셋 늘려 가며 작은 경우부터 만들어 보고 늘어나는 규칙을 찾습니다. 그러면 삼각형 21개에 성냥개비 43개가 든다는 것을 스스로 확인할 수 있습니다. 그다음에는 세 식을 계산으로 읽지 않고, 같은 그림을 세 가지로 잘라 묶은 것으로 읽습니다. (처음 것)+(되풀이되는 것)×(횟수) 꼴은 "이만큼 먼저 놓고 그다음부터 이만큼씩 더한다"는 이야기이고, (한 묶음)×(묶음 수)+(나머지) 꼴은 "조각을 두 종류로 갈라 따로 센다"는 이야기입니다. 식마다 그림을 어떻게 갈랐는지 그려 보는 것이 숫자를 다시 이야기로 되돌리는 열쇠입니다.
1STEP 1
삼각형을 하나씩 늘려 규칙 찾기
삼각형이 하나 늘 때마다 성냥개비가 2개 늘어납니다.
3, 5, 7, 9, 11, … (매번 +2)
삼각형 한두 개, 세 개까지는 손가락으로도 셀 만큼 작아서, 2씩 뛴다는 것이 곧바로 보입니다. 그게 규칙의 전부입니다.
4.OA.C.5Solve An Easier Related Problem2STEP 2
삼각형 21개일 때의 개수 확인하기
그래서 21개면 43개가 듭니다.
2 × 21+1=43
늘어나는 양이 언제나 2라는 것만 알면, 시작이 어디인지만 붙잡으면 됩니다. 삼각형 21개를 다 그리지 않아도 답에 닿을 수 있습니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern3STEP 3
① 1+2 × 21의 방법
①은 하나를 먼저 놓고 삼각형마다 2개씩 더한 것입니다.
1 + 2 × 21 = 1 + 42 = 43
앞에 놓인 1은 어느 삼각형의 것도 아닌 시작용 성냥개비입니다. 그 하나를 따로 떼어 두면 삼각형마다 드는 값이 똑같이 2가 되고, '매번 같은 값'을 적는 것이 바로 곱셈입니다.
5.OA.A.2Draw A Diagram1 더하기 2 곱하기 21이라는 식은 띠를 시작 성냥 하나에 삼각형마다 두 개씩 더한 것으로 읽는다.
왜?
첫 삼각형 뒤로는 모든 삼각형이 똑같이 성냥 두 개의 값을 치르므로, 삼각형이 늘 때마다 총합이 일정한 간격으로 올라간다.
🧱일정한 간격이면 어느 항이든 닿는다목록이 매번 같은 양만큼 커지면 어떤 항이든 처음 값에 그 간격을 반복해 더한 것이므로, 중간 항을 다 적을 필요가 없다.
왜?
2가 스물한 묶음인 것은 곱셈 하나로 모을 수 있는데, 되풀이되는 합에서 공통인수를 뽑아낼 수 있기 때문이다.
🧱분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
4STEP 4
② 3+2 × 20의 방법
②는 첫 삼각형 3개에 나머지 20개씩 2개를 더한 것입니다.
3 + 2 × 20 = 3 + 40 = 43
①과 마찬가지로 '처음 것 + 되풀이'인데, 처음 것이 성냥개비 하나가 아니라 삼각형 하나입니다. 그래서 되풀이 횟수가 21에서 20으로 줄어듭니다. 3과 20은 항상 짝을 이루어 함께 바뀝니다.
5.OA.A.2Draw A Diagram5STEP 5
③ 3 × 11+10의 방법
③은 위로 향한 11개에 3개씩, 아래로 향한 10개에 1개씩입니다.
3 × 11 + 10 = 33 + 10 = 43
만든 순서가 아니라 방향으로 다시 갈라 놓으면, 성냥개비 3개짜리 온전한 삼각형과 성냥개비 1개짜리 빈틈 메우개, 이렇게 깔끔한 두 무리가 됩니다. 같은 43인데 이야기는 완전히 다릅니다.
5.OA.A.2Organize Information In More Ways6STEP 6
위·아래 삼각형이 정말 11개와 10개인지 확인하기
위와 아래가 11개와 10개로 맞아 세 식이 모두 43입니다.
11 + 10 = 21, 11 - 10 = 1
눈으로 셀 수 있는 삼각형 5개짜리 그림에서 먼저 확인하고 같은 규칙을 21개까지 늘리는 편이 어림짐작보다 안전합니다. 덤으로 ③의 두 수가 왜 꼭 1만큼 차이 나는지도 설명됩니다.
4.OA.C.5Draw A Diagram정답
43 개
1 + 2 × 21 = 3 + 2 × 20 = 3 × 11 + 10 = 43
세 식이 모두 43입니다. 1 + 42 = 43, 3 + 40 = 43, 33 + 10 = 43입니다. n = 21일 때의 규칙 2 × n + 1과도 맞고, 그림과도 맞습니다. n = 5를 넣으면 2 × 5 + 1 = 11인데, 그림에 그려진 성냥개비가 정확히 11개입니다. 다른 방향으로도 확인됩니다. 삼각형 21개를 따로따로 만들면 63개가 들지만 붙일 때마다 하나씩 아낄 수 있고 붙이는 자리가 20군데이므로 63 - 20 = 43입니다. 설명마다 식에 나오는 수를 그대로 쓰고 있고, ③의 삼각형 수도 11 + 10 = 21로 되돌아옵니다.
핵심 정리
똑같은 성냥개비 43개도 묶는 방법에 따라 세 가지 식이 됩니다. 달라지는 것은 세기를 어디서부터 시작하느냐뿐입니다!
- 삼각형을 하나씩 늘려 규칙 찾기
- 삼각형 21개일 때의 개수 확인하기
- ① 1+2 × 21의 방법
- ② 3+2 × 20의 방법
- ③ 3 × 11+10의 방법
- 위·아래 삼각형이 정말 11개와 10개인지 확인하기
이어서 풀어볼까요